В конус вписана пирамида. основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды,проходящая через данный катет,составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем конуса.
V=S•H:3
Для ответа на вопрос задачи нужно найти радиус основания конуса и его высоту ( она равна высоте вписанной пирамиды).
Основание пирамиды - прямоугольный треугольник. Следовательно, радиус основания конуса, как описанной окружности, равен половине гипотенузы вписанного треугольника.
Пусть это ∆ АВС, ∠С=90º, ∠А=30º; АС=2а
Гипотенуза АВ=АС:cos 30º=4a/√3
Тогда R=АО=ВО=ОС=2a/√3
Катет ВС=2a/√3 как противолежащий углу 30º
Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу между перпендикулярами, проведенными к О и М из точки К катета АС (МК - наклонная, ОК - ее проекция, МК и ОК перпендикулярны АС по т. о трех перпендикулярах). К - середина основания АС равнобедренного ∆ АОС
Т.к. угол ОКА=90º, ОК|| ВС и является средней линией ∆ АВС и равна половине ВС.
ОК=ВС:2=а/√3
Высота пирамиды МО перпендикулярна плоскости основания, угол МКО=45º по условию, и ∆ МОК - равнобедренный. МО=ОК=а/√3
S осн. конуса=πR²=4π•a²/3
V=[(4π•а²/3)•a/√3]:3=4π•a³/√3 (ед. объема)
30 см
Объяснение:
Рассмотрим вложение.
Нам дан ΔАВС: ∠А = 90°, ВС = 13 см
Пусть АВ = х см, тогда АС = х + 7 см. Воспользуемся т.Пифагора для нахождения стороны.
АВ² + АС² = ВС²
х² + (х + 7)² = 13²
х² + х² + 14х + 49 = 169
2х² + 14х + 49 - 169 = 0
2х² + 14х - 120 = 0 |:2
х² + 7х - 60 = 0
D = 7² - 4 * (-60) = 49 + 240 = 289 = 17²
x₁ = (-7 - 17)/2 = -24/2 = -12
x₂ = (-7 + 17)/2 = 10/2 = 5
т.к. сторона не может быть отрицательна, то АВ = 5 см, тогда
АС = 5 + 7 = 12 см
Чтобы найти периметр треугольника, надо сложить все стороны.
Р = АВ + ВС + АС = 5 + 13 + 12 = 30 см