Профессорская задачка :)
1. Вс задача. В произвольном треугольнике две прямые, выходящие из разных вершин, делятся в точке пересечения в отношении 2:1 и 1:1. Нужно найти, в каком отношении они делят стороны. На самом деле, для заданной задачи достаточно найти, в каком отношении делится сторона, к которой проведена та прямая, которая длится в отношении 2:1. На первом рисунке - простое решение этой задачи. (Не надо путать обозначения тут и при решении основной задачи).
Задано ВК/KN = 1; AK/KM = 2; надо найти BM/BC.
Проводится PM II AC, треугольники PKM и AKN подобны, и PK/KN = KM/AK = 1/2; но КN = BN/2, то есть PN = BN/4; тогда и BP = BN/4; а отсюда BM = BC/4;
2. Собственно решение. Я изменил обозначение точки пересечения медиан трегольника АВС на букву G. O - центр описанной окружности, Н - ортоцентр. Точка Р пересечения биссектрисы угла А и GН делит GН пополам.
Поскольку АР - биссектриса угла А, то её точка пересечения с окружностью N делит дугу ВС пополам, то есть совпадает с точкой пересечения перпендикуляра к ВС из центра О.
Легко увидеть, что угол DNA между биссектрисой и этим диаметром, обозначенный как α, равен (угол АСВ - угол АВС)/2 (проще всего это понять, если провести через А хорду АА1 II ВС, тогда дуга ВА1 = дуга АС, и угол А1NA = угол А1СА, а DN биссектриса угла A1NA), то есть α = 15°;
Теперь самое главное. Точки O, G и Н лежат на прямой Эйлера, и OG = GH/2; Отсюда следует, что OG = GP = PH; кроме того, точка G делит АК в отношении AG/GK = 2 (ну, это же медиана тр-ка АВС...)
Согласно вс задаче из треугольника AON получается OK = ON/4; то есть расстояние от О до хорды ВС равно четверти радиуса окружности. Отсюда легко найти радиус R описанной окружности. R^2 = 1^2 + (R/4)^2; R = 4/√15;
Для того, чтобы найти площадь, нужно найти АМ. Центральный угол DOA равен 2α = 30°; и равен углу ОАМ, откуда сразу видно, что АМ = ОК + АО*cos(2α) = R*(1/4 + cos(2α)) = R(1/4 + √3/2);
S = ВС*АМ/2 = (4/√15)*(1 + 2√3)/8 = (1 + 2√3)/(2√15);
Я, конечно, мог и ошибиться в арифметике, так что проверяйте, но смысл решения понятен :)
3. Р=14 см
8. ∠Р=∠N=°65, ∠М=∠K=115°
3.Дано: KLRS- параллелограмм KL=2, ЕS=4, ∠К=60°, ∠Е=90°
Найти: Р-?
Решение: Рассмотрим ΔKLЕ, где ∠К=60°, ∠Е=90°. По теореме о сумме углов Δ:
∠К+∠Е+∠KLЕ=180°
∠KLЕ=180°-90°-60°
∠KLЕ=30°.
КЕ- катет лежащий против угла в 30 ° равен половине гипотинузы
КЕ=KL:2=2:2=1
КS=КЕ+ЕS=1+4=5
Р=2+2+5+5=14 см
8. Дано : PMNK- параллелограмм, KL⊥MP, ∠L=90°, ∠PKL=25°
Найти: углы ∠Р,∠М,∠N,∠K-?
Рассмотрим ΔPKL. По теореме о сумме углов Δ:
∠ L +∠PKL+∠Р=180°
∠Р=180°-90°-25°=65°
По свойству углов параллелограмма: противоположные углы параллелограмма равны, а сумма соседних равна 180°.
∠Р=∠N=°65
∠M=∠K=180°-∠Р=180°-65°=115°