В треугольнике ABC, AB = BC. Медианы треугольника пересекаются в точке O, OA = 5, OB = 6. Найдите площадь треугольника ABC.
============================================================
точка О - точка пересечения медиан ( см приложение )По свойству пересечения медиан в ΔАВС ВО:ОЕ = 2 : 1⇒ ОЕ = ВО/2 = 6/2 = 3 По свойству равнобедренного треугольника ВЕ⊥АС, ВЕ - медиана, высота, биссектрисаВ ΔАОЕ: по теореме ПифагораАЕ² = АО² - ОЕ² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16АЕ = 4АС = 2•АE = 2•4 = 8Значит, S abc = BE•AC/2 = 9•8/2 = 36ОТВЕТ: S abc = 36
Рассмотрим треугольники АВС и DЕF:
∠BAC = ∠ DFE и ∠ACB = ∠EDF по условию
Пусть AD = CF = х, тогда:
АС = СD + х
DF = СD + х
Отсюда: АС = DF
Следовательно, ΔАВС = ΔDЕF по стороне и прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках соответствующие углы равны, следовательно, ∠ABC = ∠DEF, что и требовалось доказать.