В тетраэдре ABCD, где A(1; 0;-1), B(1; 2; 0),C(0; 1;-2), D(-1;-4; 1), найти на плоскости грани ABC точку, ближайшую к вершине D.
Точка на плоскости грани ABC, ближайшая к вершине D, - это основание перпендикуляра из точки D к плоскости АВС, или по-другому – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.
Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y z - (-1)
1 - 1 2 – 0 0 - (-1)
0 - 1 0 – 1 -2 - (-1) = 0
x - 1 y z + 1 | x - 1 y
0 2 1 | 0 2
-1 -1 -1 | -1 -1 =
= (x – 1)*(-2) + y*(-1) + (z + 1)*0 – y*0 – (x – 1)*(-1) – (z + 1)*(-2) =
= -2x + 2 – y – x + 1 + 2z+ 2 = -3x – y + 2z + 5 = 0 или с положительным коэффициентом при х: 3x + y – 2z – 5 = 0.
Нормальный вектор этой плоскости равен (3; 1; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(-1;-4; 1).
((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).
Координаты, которые имеет точка М пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).
{3x + y – 2z – 5 = 0.
Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.
x + 1 = 3y + 12, отсюда y = (1/3)x – (11/3).
-2x - 2 = 3z – 3, отсюда z = (-2/3)x + (1/3).
Подставим их в уравнение плоскости.
3x + ((1/3)x – (11/3)) – 2((-2/3)x + (1/3)) – 5 = 0,
3x + (1/3)x – (11/3) + (4/3)x – (2/3) – 5 = 0,
(14/3)x = 28/3,
x = 28/14 = 2,
y = (1/3)*2 – (11/3) = -9/3 = -3,
z = (-2/3)*2 + (1/3) = -3/3 = -1.
Найдена точка М пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью ABC.
Это и есть проекция точки D на плоскость АВС.
М(2; -3; -1).
На рисунке обозначены:
ABC - Основание пирамиды
OS - Высота
KS - Апофема
OK - радиус окружности, вписанной в основание
AO - радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO - двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)
Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).
Свойства правильной треугольной пирамиды:
боковые ребра правильной пирамиды равны
все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3 (пи делить на 3 или 60 градусов ).
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан
data:image/png;base64,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
Объяснение: