Из центра окружности О проведём радиусы ОМ, ОК, ОN.(смотри рисунок). При этом ОК перпендикулярна СД. Треугольники МОС и СОК равны как прямоугольные с общей гипотенузой ОС и катетами ОМ и ОК равными R. Аналогично равны треугольники NОД и КОД. Следовательно против равных сторон у них лежат равные углы тогда ОС и ОД будут гипотенузами углов С и Д соответственно. Углы ОСД и КОД равны. Поскольку угол ВСД=180-угол АДС, тогда угол ОСД=(180-угол АДС)/2=90-(угол АДС)/2=90-угол КДО. А это и есть угол КОД. Далее смотри рисунок.В конце проверено свойство трапеции в которую вписана окружность. Что подтверждает правильность решения. Кстати угол СОД для подобной трапеции всегда будет равен 90 при любых R. Поскольку угол МОN=180 и состоит из четырёх попарно равных углов. То есть угол МОС+уголNОД=уголСОК+уголКОД=90. Тогда можно СД найти по теореме Пифагора ОСквадрат+ОДквадрат=9+81=90. Отсюда СД=корень из90=3 корня из 10 или 30/(корень из 10).
трапеция АБСД, ВС и АД - основания АБ перпендикулярна ВС и АД
точки касания окружности на АБ - К, на БС - Н, на СД-М и на ДА - Л
центр окружности О. ОС = 15, ОД = 20
угол С+уголД = 180 т.к. ВС и АД параллельны
из Д две касательные АД и ДС значит ОД - биссектриса угла Д, аналогично ОС биссектриса угла С
получаем что в треугольнике ОСД угол ОСД+угол ОДС = 90 следовательно угол СОД = 180-90=90 значит треугольник ОСД - прямоугольный. найдем по теореме Пифагора СД = корень(ОС*ОС+ОД*ОД) = 25
треугольник СМО и СОД подобны (по равенству двух углов угол ОСМ - общий, угол СОД = 90 угол ОМС = 90 (угол между радиусом и касательной)) ОМ/ОС = ОД/СД отсюда ОМ = ОД*ОС/СД = 15*20/25 = 12 это наш радиус
АБ = 2r, БН=БК =r (как две касательные из одной точки) также НС=МС, МД=ЛД, АЛ=АК = r
найдем половину периметра = (4r+2*СД)/2 = 2r+СД = 24+25 = 49
радиус вписанной окружности по формуле равен r=s/p где S -площадь многоугольника p- полупериметр отсюда S=p*r = 49*12 = 588