1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4
К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4
N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4
По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)
2.
Из решения первой задачи следует, что
АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC
По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)
Касательная АВ=12, секущая АС=24, точка пересечения секущей с окружностью Д, О-центр
АВ в квадрате = АД х АС, 144 = 24АД, АД=6, ДС=24-6=18, проводим радиусы ОД=ОС, треугольник ДОС равнобедренный. ОН -высота на ДС=12 =медиане, биссектрисе, ДН=СН=ДС/2=18/2=9, треугольник ДОН прямоугольный,
ОД=радиусу =корень(ДН в квадрате+ОН в квадрате) = корень(81+144)=15
радиус=15