Question

Окружность, вписанная в треугольник авс касается стороны вс в точке к. докажите что ск=p-ав где р полупериметр треугольника авс

Answer 1

))) Интересное задание, сначала не хотел браться, потом "зацепило"...

Смотрим рисунок и вспоминаем свойство касательных:

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности (вот почему, собственно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис...).

Пусть точки М, К и О - точки касания окружности со сторонами АВ, ВС и АС, соответственно.

Из свойства касательных следует, что:

$AM=AO, BM=BK, CK=CO$

Периметр (пока в рассчётах берём именно периметр Р (большая), а не полупериметр р (малая)):

$P=AB+BC+AC$, значит

$BC=P-(AB+AC)$

Так как $BC=BK+CK, AB=AM+BM, AC=AO+CO$, то:

$BK+CK=P-AM-BM-AO-CO$

Исходя из вышеприведённых равенств:

$AM=AO, BM=BK, CK=CO$

Имеем право записать как:

$CK=P-AM-BM-AM-CK-BM$

$2CK=P-2AM-2BM\\2CK=P-2(AM+BM)\\2CK=P-2AB\\CK=\frac{P}{2}-AB\\CK=p-AB$

В нижней записи у нас уже фигурирует полупериметр р (малая). ЧТД

Как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!.. ;)))