Question

Векторы m→ и q→ взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины: 8 см. Определи скалярное произведение векторов c→ и d→, которые выражены следующим образом: c→=3⋅m→−2⋅q→, d→=3⋅m→+2⋅q→.

c→⋅d→=
​

Answer 1

Для решения данной задачи мы должны разложить векторы c→ и d→ на компоненты, используя координаты векторов m→ и q→. Затем, умножим соответствующие компоненты этих векторов и просуммируем результаты, чтобы найти скалярное произведение.

Начнем с разложения векторов c→ и d→ на компоненты:

c→ = 3⋅m→ - 2⋅q→
= 3⋅(8⋅i + 0⋅j) - 2⋅(0⋅i + 8⋅j)
= 24⋅i - 16⋅j

d→ = 3⋅m→ + 2⋅q→
= 3⋅(8⋅i + 0⋅j) + 2⋅(0⋅i + 8⋅j)
= 24⋅i + 16⋅j

Теперь у нас есть координаты векторов c→ и d→. Мы можем использовать эти координаты для вычисления скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих компонент:

c→⋅d→ = (24⋅i - 16⋅j)⋅(24⋅i + 16⋅j)
= (24⋅i⋅24⋅i) + (24⋅i⋅16⋅j) + (-16⋅j⋅24⋅i) + (-16⋅j⋅16⋅j)
= 576⋅i⋅i + 384⋅i⋅j - 384⋅j⋅i - 256⋅j⋅j

Теперь мы должны использовать правила перемножения единицы векторов i и j:
i⋅i = 1 (перемножение поворота на 0 градусов)
i⋅j = 0 (перемножение поворота на 90 градусов)

Применяя эти правила, мы можем упростить скалярное произведение:

c→⋅d→ = 576⋅i⋅i + 384⋅i⋅j - 384⋅j⋅i - 256⋅j⋅j
= 576⋅1 + 384⋅0 - 384⋅0 - 256⋅1
= 576 - 256
= 320

Таким образом, скалярное произведение векторов c→ и d→ равно 320.