В одной окружности если дуги равны, то стягивающие их хорды равны, значит ВС=АВ. По теореме косинусов квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Следовательно, ВС²=МС²+ВМ²-2*МС*ВМ*Cosα (1) АВ²=МВ²+МА²-2*МВ*МА*Cosα (2). Но ВС=АВ. Приравняем оба уравнения и, подставив известные значения, получим: 17-8*Cosα = 52-48*Cosα, отсюда Cosα=7/8. Подставив это значение в (1), получим АВ=ВС=√10см. Соединим центр окружности О с концами В и С хорд МВ и МС. Угол ВОС - центральный и равен двойной градусной мере угла ВМС, то есть <BOC=2α. Если Cosα=7/8, то Sinα = √(1-49/64) =√15/8. Мы знаем, что длина хорды равна L=2*R*Sin(α/2), где α - центральный угол. Но в нашем случае этот угол равен 2α . Значит у нас L=2*R*Sinα. ОтсюдаR=L/(2*Sinα) , подставив значения, имеем: R=(√10*8)/(2√15) = 4√2/√3 = 4√6/3. ответ: радиус окружности R=4√6/3.
Дан треугольник АВС, высота ВД=8 см, АД=15 см, ДС=6 см.
Сторона АС = 15 + 6 = 21 см.
Отсюда находим площадь треугольника.
S = (1/2)ah = (1/2)*21*8 = 84 см².
Теперь используем формулы радиуса.
Радиус r вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Находим неизвестные стороны.
АВ = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см.
ВС = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
Полупериметр р = (17 + 10 + 21)/2 = 48/2 = 24 см.
Находим: r = S/p = 84/24 = 3,5 см.
Радиус R описанной окружности равен:
R = abc/(4S) = 17*10*21/(4*84) = 10,625 см.