1) В треугольнике АСМ СО - биссектриса и высота, значит он равнобедренный,
СМ = СА = а,
М - середина ВС, ⇒ ВМ = СМ = а; АВ = ВС = 2а.
ΔВСН: cos∠ACB = HC/BC = a/2 / (2a) = 1/4
Из ΔAMCпо теореме косинусов:
AM² = AC² + CM² - 2AC·CM·cos∠ACB
AM² = a² + a² - 2a·a·1/4 = 2a² - a²/2 = 3a²/2
AM = a√3/√2 = a√6/2
2) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
ВК : АК = ВС : АС = 2а : а = 2 : 1, ⇒
АК = 1/3 AB = 1/3 · 2a = 2a/3
cos∠BAC = cos∠BCA = 1/4 (углы при основании равнобедренного треугольника)
Из ΔАКС по теореме косинусов:
CK² = AK² + AC² - 2AK·AC·cos∠BAC
CK² = 4a²/9 + a² - 2 · 2a/3 · a · 1/4 = 13a²/9 - a²/3 = 10a²/9
CK = a√10/3
3) Samc = 1/2 AC·CM·sin∠BCA
sin∠BCA = √(1 - cos²∠BCA) = √(1 - 1/16) = √(15/16) = √15/4
Sacm = 1/2 · a · a · √15/4 = a²√15/8
Sabm = Sacm = a²√15/8 так как медиана делит треугольник на два равновеликих.
AO = OM = AM/2 = a√6/4 (так как ΔАМС равнобедренный)
ΔАКО: AO = a√6/4, AK = 2a/3, по теореме Пифагора
OK = √(AK² - AO²) = √(4a²/9 - 6a²/16) = √(64a²/144 - 54a²/144) = √(10a²/144) =
= a√10/12
Saok = 1/2 OK · AO = 1/2 · a√10/12 · a√6/4 = a²√60/96 = a²√15/48
Sbmok = Sabm - Saok = a²√15/8 - a²√15/48 = 5a²√15/48
Смотрим рисунок, данный в приложении.
Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на треугольники. Стороны четырехугольника, которые соединяют середины сторон ABCD,являются средними линиями таких треугольников, поэтому противоположные стороны такого вписанного четырехугольника равны и параллельны.⇒
Четырехугольник КМНР - параллелограмм.
Отрезки, соединяющие середины сторон исходного четырехугольника диагонали получившегося параллелограмма.
Если диагонали параллелограмма равны, этот параллелограмм– прямоугольник. Противоположные стороны КМНР равны половине диагоналей АВСD.
Примем длину ВD= а. Тогда АС=3а/4
КР=ВD:2=а/2
КМ=АС:2=3а/8
По условию диагонали прямоугольника равны 15.
Вычислим по т.Пифагора стороны КМНР.
МР²=КМ²+КР²
15²=(3а/8)²+(а/2)²
225=9а²/64+а²/4 ⇒
25а²/64=225 откуда
а²=576
а=24
КР=МН=24:2=12
КМ=РН=24:8•3=9