Дано: ΔАВС
АВ=ВА
(О; r) - вписанная окр.
ВМ⊥АС
ВО=13 см
ОК= r = 5 см
Найти: Р ΔАВС
1) Из прямоугольного ΔВОК по теореме Пифагора
ВК² = ВО² - ОК²
ВК² = 13²- 5² =169-25=144
ВК=√144 = 12 см
2) ∆ОВК~∆МВС (подобен), т.к. оба прямоугольные с общим углом ∠МВС.
Соответственные стороны пропорциональны:
ВМ : МС = ВК : ОК
18 : МС = 12 : 5
МС =18 · 5:12 = 7,5 см
АС = 2 · МС = 2·7,5 = 15 см.
3) По теореме Пифагора из ∆ВМС найдем ВС.
ВС² = ВМ² + МС²
ВС² = 18² + 7,5² = 324 + 56,25 = 380,25
ВС=√380,25 = 19,5 см
4) АВ = ВС = 19,5 см
АС = 15 см
Р= АВ+ВС+АС
Р = 2*19,5 + 15 = 54 см
ответ: 54 см
б)4 Итак, что мы имеем: треугольник АВС, где угол А=90 градусов, и высота АD делит его на два прямоугольных треугольника.
Начнем с того, что попроще: треугольник ADB (угол D=90 градусов), катет AD=12, гипотенуза АВ=20, по теореме Пифагора 20^2=12^2+DB^2
Таким образом, сторона DB=16
Теперь рассмотрим второй треугольник, получившийся при делении большого треугольника высотой:
CDA, где угол D =90 градусов.
Катет AD=12, катет DC=X, гипотенуза AC=Y
По все той же теореме Пифагора получаем:
Y^2=12^2+X^2
Теперь рассмотрим исходный треугольник АВС
Катет АВ=20, катет АС=Y (смотри выше), гипотенуза СВ=X+16
По теореме Пифагора получаем:
20^2+Y^2=(X+16)^2 => Y^2=X^2+32X+256-400 => Y^2=X^2+32X-144
подставляем в уравнение Y^2=12^2+X^2 выраженное значение Y, получаем:
X^2+32X-144=12^2+X^2
32X=288
X=9
Таким образом, гипотенуза ВС=16+9=25
Катет АС=15
Косинус угла С равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, т.е. cos C= AC/CB=15/25=3/5