\\\ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми
Прямые АA1 и BD1 скрещивающиеся.
Пусть точка О - точка пересечения диагоналей Квадрата ABCD.
АA1 перпендикулярна АB
AA1 перпендикулярна AD (следует из определения прямоугольног о параралелипипеда)
поєтому
AA1 перпендикулярна плоскости ABD а значит и любой прямой лежащей в этой плоскости в частности пряммой AO
Аналогично доказываем, что прямая BB1 и пряммая АО перпендикулярны
Пряммые АО и BD перпендикулярны как диагонали квадрата
Итак, ОА перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB1 и BD плоскости BDB1, а значит она препендикулрна этой плоскости, а значит и перпендикулярна и любой прямой лежащей в этой плоскости, в частности
АО перпендикулярна BD1.
Пряммая AA1 не лежащая в плосоксти BB1D паралельна двум прямым єтой плоскости (а именно BB1 и DD1 , следует из свойств прямоугольного параллелипипеда), поэтому она параллельна плоскости BB1D(содержащей пряммую BD1)
Далее пряммая АО перпендикулярна прямым AA1 и B1D. По определению расстояние от ребра AA1 до диагонали параллелепипеда BD1 это отрезок
АО
ABCD - квадрат со стороной равной а, поєтому
его диагональ равна AC=a*корень(2)
AO=1/2AC=1/2*a*корень(2)
ответ: a*корень(2)/2
1) Найдем длины сторон 4-хугольника по формуле расстояния между двумя точками:
MN=sqrt((5-2)^2+(3-2)^2)=sqrt(9+1)=sqrt(10);
NK=sqrt((6-5)^2+(6-3)^2)=sqrt(1+9)=sqrt(10);
KP=sqrt((3-6)^2+(5-6)^2)=sqrt(9+1)=sqrt(10);
PM=sqrt((2-3)^2+(2-5)^2)=sqrt(1+9)=sqrt(10).
Итак, в чет-ке MNPK длины сторон равны, значит это либо ромб, либо квадрат (тоже ромб!).
2) Найдем длины диагоналей 4-хугольника по формуле расстояния между двумя точками:
NP=sqrt((3-5)^2+(5-3)^2)=sqrt(4+4)=sqrt(8)=2*sqrt(2);
MK=sqrt((6-2)^2+(6-2)^2)=sqrt(16+16)=sqrt(32)=4*sqrt(2).
Итак, диагонали неравны, значит это ромб, ч.т.д.
3) Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей:
S=(1/2)*2*sqrt(2)*4*sqrt(2)=4*2=8