Question

Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - r.

Answer 1

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:
$a^2+b^2=c^2$
Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:
$a^2+b^2=(2R)^2 \\\ a^2+b^2=4R^2$
Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:
$a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab \\\ a^2+b^2+2ab=4R^2+ \frac{4ab}{2}$
Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:
$(a+b)^2=4R^2+4S \\\ a+b=2 \sqrt{ R^2+S}$
Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:
$S= \frac{a+b+c}{2}\cdot r$
Подставим вместо а+b и с известные выражения:
$S= \frac{2 \sqrt{ R^2+S}+2R}{2}\cdot r$
Выполняем преобразования:
$\frac{S}{r} = \sqrt{ R^2+S}+R \\\ \frac{S}{r} -R= \sqrt{ R^2+S} \\\$
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{S^2}{r^2}- \frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S$
R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:
$\frac{S}{r^2}- \frac{2R}{r} =1$
Домножаем на r:
$S-2Rr =r^2 \\\ \Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)$
Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
ответ: 2Rr+r²

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам.

Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

$a$

$b$

$c=2R$

Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты:

$a^2+b^2=c^2=4R^2$

Так как площадь прямоугольного треугольника равна: $S=\frac{ab}{2}$

получаем $ab=2S$

тогда $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4S=4R^2+4S$

Получаем:

$a+b=\sqrt{4R^2+4S}$

Зная, что площадь равна: $S=pr=\frac{(a+b+c)}{2}*r$

Получаем: $a+b+c=\frac{2S}{r}$

тогда получаем:

$a+b=\sqrt{4R^2+4S}$

Прибавим $c$с обеих сторон:

$a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+c$

т.к $c=2R$Получаем:

$a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+2R$

так как $a+b+c=\frac{2S}{r}$

получаем:

$\sqrt{4R^2+4S}+2R=\frac{2S}{r}$

$\sqrt{4R^2+4S}=\frac{2S}{r}-2R$

$4R^2+4S=(\frac{2S}{r}-2R)^2$

$4R^2+4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}+4R^2$

$4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}$

Делим все на $4S$:

$1=\frac{S}{r^2}-\frac{2R}{r}$

$r^2=S-2Rr$

Откуда получаем:

$S=r^2+2Rr$

ответ: $S=r^2+2Rr$