Question

Основанием пирамиды служит треугольник с углами a и b. высота пирамиды равна h, боковые ребра образуют с плоскостью основания угол y. вычислить объем пирамиды.

Answer 1

боковые ребра образуют с плоскостью основания угол Y, значит вершина пирамиды проэктируется в центр описанной окружности

$\frac{h}{R}=tg \gamma$

Радиус описанной окружности равен 

$R=\frac{h}{tg \gamma}=h*ctg \gamma$

По расширенной теореме синуса стороны треугольника в основании равны

$a=2R*sin \alpha=2h*ctg \gamma*sin \alpha$

$b=2R*sin \beta=2h*ctg \gamma*sin \beta$

Площадь основания (треугольника) равна

$S_o=\frac{1}{2}*ab*sin C=\frac{1}{2}*2h*ctg \gamma*sin \alpha*2h*ctg \gamma*sin \beta*sin(180^o-\alpha-\beta)=2h^2*ctg^2 \gamma*sin \alpha*sin \beta*sin (\alpha+\beta)$

Обьем пирамиды равен

$V=\frac{1}{3}*S_o*h=\frac{1}{3}*2h^2*ctg^2 \gamma*sin \alpha*sin \beta*sin (\alpha+\beta)*h=\frac{2h^3*ctg^2 \gamma*sin \alpha*sin \beta*sin (\alpha+\beta)}{3}$