Соединим центр О окружности с концами хорды АВ. ОА=ОВ=R.
Треугольник АОВ - равнобедренный. Проведем высоту ОН этого треугольника.
Угол ОНВ=углу ОНА=90º
«Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один»
Следовательно, и к середине хорды можно провести только один перпендикуляр.
Высота ОН - медиана равнобедренного треугольника.
АН=ВН. Точка Н - середина АВ.
Следовательно, ОН, проходящий через середину АВ, есть срединный перпендикуляр хорды АВ, ч.т.д.
Пусть N- середина АС. Тогда BN перпендикулярно плоскости ADC, поскольку BN перпендикулярно АС (медиана равнобедренного треугольника) и AD (BN лежит в плоскости ABC).
BN = AC/2 = 2√2; это - расстояние от точки В до плоскости ADC.
Поскольку точка М лежит на наклонной прямой DB посредине между D и B, расстояние от M до плоскости ADC равно h = BN/2 = √2;
это можно считать высотой пирамиды ALCM , за основание принята грань ALC, осталось сосчитать её площадь.
AL - высота в прямоугольном треугольнике ACD, где AD = 4; AC = 4√2; откуда DC = 4√3;
AL = AD*AC/DC = 4√(2/3);
При этом из подобия ADC и ALC
LC/AL = AC/AD = √2; LC = 8/√3;
Площадь ALC равна S = LC*AL/2 = 16√2/3;
Объем ALCM равен V = S*h/3 = 32/9;
обязательно проверьте всю арифметику