Две стороны параллелограмма равны 13 см и 14 см, а одна из диагоналей равна 15 см. найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.
Об этом треугольнике - со сторонами 13,14,15 я уже много раз тут писал.
Если провести высоту в этом треугольнике к стороне 14, то она разрежет исходный треугольник на два Пифагоровых треугольника - со сторонами 5,12,13 и 9,12,15. Два катета 5 и 9 в сумме составляют сторону 14, а 12 - общий катет, и есть высота.
Синус угла между сторонами 13 и 14 равен 12/13.
Теперь перейдем к параллелограмму.
У него 2 угла - острый и тупой, в сумме 180 градусов. Поэтому синусы их равны (это важнейший момент в решении) 12/13.
Биссектриса острого угла пересечет сторону 14, разбив её на отрезки 13 и 1, то есть отсечет от параллелограмма равнобедренный треугольник с боковой стороной 13 и тупым углом при вершине, синус которого равен 12/13.
Биссектриса тупого угла, что легко обнаружить, тоже отсесекает равнобедренный треугольник с боковой стороной 13, и острым углом между боковыми сторонами, синус которого тоже равен 12/13.
То, что отсекаемые треугольники равнобедренные, следует из равенства углов при основаниях, поскольку один из углов является внутренним накрест лежащим углом к половине угла, из которого выходит биссектриса, а второй угол при основании - как раз и есть вторая его половина :).
Получается, что в обоих случаях площадь отсекаемого треугольника равна
Пусть дан параллелограмм АВСD, у которого АК - биссектриса угла А.Найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона S=84 см^2. Но с другой стороны S тр=1/2*a*b*sinB, то sinB=2*S/a*b=12/13. Значит площадь треугольника ABK=1/2*AB*BK=78 см^2
1) Сторону правильного n-угольника можно вычислить по формуле a=2R*sin 180/n, где n - количество сторон. Однако, R мы не знаем. Его можно вычислить по другой формуле - R=r/cos 180/n. Подставим сюда известные числовые значения: R=3/cos 18=3/0.95=3.15 (см). Найдем сторону фигуры: a=2*3.15*sin 180/n=2*3.15*0.3=1.89 (см) ответ: 1.89 см. 2) Найдем R: R = r/cos 180/n=5/√3/2=10√3/3 (см) Длина стороны равна R, следовательно a=R=10√3/3, значит, P = 6a=10√3/3*6=20√3 (cм) или 34.64 см. ответ: 20√3 см или 34.64 см. 3) Радиус описанной около 6-угольника окружности = длине стороны, следовательно R = 5√3 см. Для треугольника эта же окружность является вписанной, т.е. для треугольника r=5√3. В свою очередь, R=2r=2*5√3=10√3 (см). Сторону правильного треугольника можно вычислить по формуле a=R√3=10√3*√3=10*3=30 (см). ответ: 30 см.
АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому ∠ABD = ∠ADB, BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x. ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°. ∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится: cos 80° ≈ 0,1736 BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
Об этом треугольнике - со сторонами 13,14,15 я уже много раз тут писал.
Если провести высоту в этом треугольнике к стороне 14, то она разрежет исходный треугольник на два Пифагоровых треугольника - со сторонами 5,12,13 и 9,12,15. Два катета 5 и 9 в сумме составляют сторону 14, а 12 - общий катет, и есть высота.
Синус угла между сторонами 13 и 14 равен 12/13.
Теперь перейдем к параллелограмму.
У него 2 угла - острый и тупой, в сумме 180 градусов. Поэтому синусы их равны (это важнейший момент в решении) 12/13.
Биссектриса острого угла пересечет сторону 14, разбив её на отрезки 13 и 1, то есть отсечет от параллелограмма равнобедренный треугольник с боковой стороной 13 и тупым углом при вершине, синус которого равен 12/13.
Биссектриса тупого угла, что легко обнаружить, тоже отсесекает равнобедренный треугольник с боковой стороной 13, и острым углом между боковыми сторонами, синус которого тоже равен 12/13.
То, что отсекаемые треугольники равнобедренные, следует из равенства углов при основаниях, поскольку один из углов является внутренним накрест лежащим углом к половине угла, из которого выходит биссектриса, а второй угол при основании - как раз и есть вторая его половина :).
Получается, что в обоих случаях площадь отсекаемого треугольника равна
S = (1/2)*13^2*(12/13) = 78.