Задача 3. В равнобедренном треугольнике проведена медиана к основанию. Угол напротив основания равен 60° . Найдите боковую сторону, если основание равно 30 см.
Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство медианы в равнобедренном треугольнике.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является биссектрисой и высотой этого треугольника.
Угол напротив основания равнобедренного треугольника равен 60 градусов.
Так как медиана является высотой, то у нее перпендикулярно основанию будет образован прямоугольный треугольник.
К сожалению, на изображении задачи не видно вершины треугольника, но предположим, что медиана полностью лежит внутри треугольника и пересекает основание на равном расстоянии от его середины.
Обозначим боковую сторону треугольника как "a". Для нахождения ее значения, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного медианой, половиной основания и боковой стороной треугольника.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\(c^2 = a^2 + b^2\)
Где "c" - гипотенуза, "a" и "b" - катеты.
В нашей задаче, медиана будет выступать в роли гипотенузы, половина основания - в роли одного катета, а боковая сторона - в роли второго катета.
Так как угол напротив основания равен 60 градусов, а треугольник равнобедренный, то у нас получается равнобедренный прямоугольный треугольник.
Таким образом, у нас будет следующая система уравнений:
\(a^2 + \left(\dfrac{30}{2}\right)^2 = c^2\)
\(a^2 + 15^2 = c^2\)
\(a^2 + 225 = c^2\)
\(a^2 = c^2 - 225\)
Теперь, чтобы найти значение боковой стороны "а", нам нужно найти значение гипотенузы "c". Выполним это, применяя теорему косинусов:
Мы знаем, что у нас равнобедренный треугольник, поэтому мы можем использовать свойство равенства боковых сторон треугольника для нахождения угла α у основания треугольника:
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является биссектрисой и высотой этого треугольника.
Угол напротив основания равнобедренного треугольника равен 60 градусов.
Так как медиана является высотой, то у нее перпендикулярно основанию будет образован прямоугольный треугольник.
К сожалению, на изображении задачи не видно вершины треугольника, но предположим, что медиана полностью лежит внутри треугольника и пересекает основание на равном расстоянии от его середины.
Обозначим боковую сторону треугольника как "a". Для нахождения ее значения, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного медианой, половиной основания и боковой стороной треугольника.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\(c^2 = a^2 + b^2\)
Где "c" - гипотенуза, "a" и "b" - катеты.
В нашей задаче, медиана будет выступать в роли гипотенузы, половина основания - в роли одного катета, а боковая сторона - в роли второго катета.
Так как угол напротив основания равен 60 градусов, а треугольник равнобедренный, то у нас получается равнобедренный прямоугольный треугольник.
Таким образом, у нас будет следующая система уравнений:
\(a^2 + \left(\dfrac{30}{2}\right)^2 = c^2\)
\(a^2 + 15^2 = c^2\)
\(a^2 + 225 = c^2\)
\(a^2 = c^2 - 225\)
Теперь, чтобы найти значение боковой стороны "а", нам нужно найти значение гипотенузы "c". Выполним это, применяя теорему косинусов:
Мы знаем, что у нас равнобедренный треугольник, поэтому мы можем использовать свойство равенства боковых сторон треугольника для нахождения угла α у основания треугольника:
\(α + α + 60 = 180\) (сумма углов треугольника равна 180°)
\(2α + 60 = 180\)
\(2α = 180 - 60\)
\(2α = 120\)
\(α = 60°\)
Теперь, используя теорему косинусов, мы можем найти значение гипотенузы "с":
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos α\)
\(c^2 = a^2 + 15^2 - 2a \cdot 15 \cdot \cos 60\)
\(c^2 = a^2 + 225 - 30a \cdot \dfrac{1}{2}\)
\(c^2 = a^2 + 225 - 15a\)
\(c^2 = a^2 - 15a + 225\)
Теперь мы можем заменить \(c^2\) в нашем уравнении для \(a^2\):
\(a^2 = a^2 + 225 - 15a\)
\(0 = 225 - 15a\)
\(15a = 225\)
\(a = \dfrac{225}{15}\)
\(a = 15\)
Таким образом, боковая сторона треугольника равна 15 см.