Question

Через дві твірні конуса проведено площину, яка нахилена до основи під кутом ∠ α. Ця площина перетинає основу конуса по хорді, яку видно з центра основи під ∠ β.

Знайдіть площу бічної поверхні конуса,якщо його твірна дорівнює m

На русском :

Через две образующие конуса проведена плоскость, которая наклонена к основанию под углом ∠ α. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под ∠ β.

Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна m

Answer 1

Через две образующие конуса проведена плоскость, которая наклонена к основанию под углом углом α. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом  β.  Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна m

Объяснение:

1) Пусть МА=МВ=m -образующие конуса, МО-высота конуса, МО⊥(АОВ) АВ-хорда , ∠АОВ=β.  Проведем ОН⊥АВ , тогда МН⊥АВ , по т. о трех перпендикулярах ⇒ ∠МНО-линейный угол между основанием и плоскостью (АВМ), ∠МНО=α .

2) S(бок.конуса )=  π * r* l . где r-радиус основания,  l-образующая конуса. По условию  l =m . Найдем r.

3)В   равнобедренном  ΔАОВ, высота является биссектрисой ⇒∠АОН=β/2.  Получили ΔАОН- прямоугольный :

$sin \frac{\beta }{2} =\frac{AH}{ AO} , AO=r , HA=r*sin \frac{\beta }{2}$ ,

$cos \frac{\beta }{2} =\frac{OH}{ AO} , AO=r , OH=r*cos \frac{\beta }{2}$  .

4) ΔMHO- прямоугольный :   $cos\alpha =\frac{OH}{ MH} , MH=\frac{OH}{cos \alpha } ,$ или $MH=\frac{r*cos\frac{\beta }{2} }{cos\alpha }$  .

5)  ΔAMH- прямоугольный ,по т. Пифагора  НА²+МН²=МА² ,

$(r*sin \frac{\beta }{2})^{2}$ + $( \frac{r*cos\frac{\beta }{2} }{cos\alpha } )^{2}$ = m²       ,r²( $(sin \frac{\beta }{2})^{2}$+ $( \frac{cos\frac{\beta }{2} }{cos\alpha } )^{2}$ )=m²   ,

r = $\sqrt( {\frac{m^{2}*cos^{2} \alpha }{sin^{2}\frac{\beta }{2}*cos\alpha +cos^{2}\frac{\beta }{2} } ) }$  = $\frac{m*cos\alpha }{\sqrt{sin^{2}\frac{\beta }{2} *cos^{2} \alpha }+cos^{2} \frac{\beta }{2} }$ .

6)  S(бок.конуса )=  π *  $\frac{m*cos\alpha }{\sqrt{sin^{2}\frac{\beta }{2} *cos^{2} \alpha }+cos^{2} \frac{\beta }{2} }$    *m

S(бок.конуса )=   $\frac{\pi *m^{2} *cos\alpha }{\sqrt{( sin^{2}\frac{\beta }{2} *cos^{2} \alpha }+cos^{2} \frac{\beta }{2} ) }$   ( ед²) .