Question

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 15 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, -12 см, найдите: а) боковой кант и сторону основы пирамиды, б) боковую поверхность пирамиды,в) полную поверхность пирамиды.

Answer 1

А) Апофема  DК = 15 см, высота DО = 12 см. Точка О - центр основания пирамиды - точка пересечения медиан правильного треугольника АВС.
 Треугольник DОК - прямоугольный, по т Пифагора  
$OK= \sqrt{ DK^{2}-DO ^{2} }= \sqrt{225-144}=9$ cм. ВК делится точкой О на отрезки в отношении 2:1, считая от вершины. Отсюда ВК = 3 ОК = 27 см.
Так как  $BK= \frac{a \sqrt{3} }{2}, a= \frac{2BK}{ \sqrt{3} }= \frac{54}{ \sqrt{3} }=18 \sqrt{3}$. 
ОВ = 2/3 ВК = 2/3 * 27 = 18 см. 
Из прямоугольного треугольника DOB найдем боковое ребро DB. 
По т Пифагора $DB= \sqrt{DO ^{2}+ BO^{2} }= \sqrt{144+324}= \sqrt{468}=6 \sqrt{13}$ см  
б)  Найдем боковую поверхность пирамиды $S _{1} = \frac{1}{2} P*DK$
$S= \frac{1}{2}*3*18 \sqrt{3}*15=405 \sqrt{3}$
в) Полную поверхность найдем по формуле $S= S _{ABC} +S _{1}$
$S _{ABC} = \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{972* \sqrt{3} }{4}=243 \sqrt{3}$ кв см
$S = 405 \sqrt{3}+ 243 \sqrt{3}= 648 \sqrt{3}$ кв см