Кут С паралелограма АВCD дорівнює 45 градусів. Бісектриса кута D перетинає пряму АВ у точці Р такій, що АР-10см, ВР-2см. Знайдіть площу паралелограма АВСD
АВСД - параллелограмм , ДР - биссектриса, ∠С=45° ,
ДР пересекает АВ в точке Р , а ВС в точке М .
АР=10 см , ВР=2 см ⇒ АВ=10-2=8 см , СД=АВ=8 см как противоположные стороны параллелограмма .
ДР - биссектриса ⇒ ∠СДР=∠АДР .
∠АДР=∠СМД как накрест лежащие углы при АД || ВС и секущей ДР .
В ΔСМД два угла равны ⇒ ΔСМД - равнобедренный и СМ=СД=8 см ∠СМД=(180°-45°):2=67,5°
∠ВМР=∠СМД=67,5° как вертикальные .
В ΔВМР угол ∠МВР=45° , так как ∠МВР=∠МСД=45° как накрест лежащие углы при АР || СД и секущей ВС .
Но тогда в ΔВМР: ∠ВРМ=180°-45°-67,5°=67,5° , то есть ΔВМР есть два равных угла: ∠ВМР=∠ВРМ=67,5° , тогда этот треугольник равнобедрен-ный и ВМ=ВР=2 см .
Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Следовательно, двугранный угол при основании пирамиды равен линейному углу между высотой грани и ее проекцией на основание. Эта проекция - отрезок, соединяющий точку О, в которую проецируется высота пирамиды на основание пирамиды. Раз все двугранные углы равны, значит равны и эти отрезки и мы доказали пункт б). Равенство этих проекций доказывает, что точка О равноудалена от сторон треугольника. Это значит, что точка О - центр вписанной окружности в основание треугольника, то есть доказан пункт а). Найдем длину проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, или, как мы доказали, радиус вписанной в основание пирамиды окружности. В равнобедренном треугольнике АВС BН - его высота, АН=НС=а/2. Тогда АВ=АН/Cosα или AB=a/(2Cosα). BH=AB*Sinα или BH=a*Sinα/(2Cosα)=(а/2)*tgα. Sabc=(1/2)*AC*BH или Sabc=(а/2)*(а/2)*tgα=(а²/4)*tgα. Есть формула площади треугольника: S=p*r, где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности. Тогда r=S/p или r=[(а²/4)*tgα]/p. p=2*AB+AC. Или р=2*a/(2Cosα)+а=a/Cosα+а=а((1/Cosα)+1)=(а*(1+Cosα))/Cosα. r=[(а²/4)*tgα]/[(а*(1+Cosα))/Cosα] или r=a*Sinα/[4(1+Cosα)]. ответ: r=a*Sinα/[4(1+Cosα)].
Рисунок через редактор у меня вставить не получается, но... Проводим из центра окружности - точки О к точке B прямую. Треугольники OBC и OAB равны по катету (катет OC = OA = r, также угол OCB = OAB, т.к. радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, гипотенуза OB - общая). Из равенства треугольников следует, что угол COB = OAB = 60° => угол CBO = ABO = 90° - 60° = 30° => OC = 1/2 CB, т.к. против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, значит, CB = AB = 8 см. Pocba = 4см + 4см + 8см + 8см = 24см.
ответ: Р=36 см .
АВСД - параллелограмм , ДР - биссектриса, ∠С=45° ,
ДР пересекает АВ в точке Р , а ВС в точке М .
АР=10 см , ВР=2 см ⇒ АВ=10-2=8 см , СД=АВ=8 см как противоположные стороны параллелограмма .
ДР - биссектриса ⇒ ∠СДР=∠АДР .
∠АДР=∠СМД как накрест лежащие углы при АД || ВС и секущей ДР .
В ΔСМД два угла равны ⇒ ΔСМД - равнобедренный и СМ=СД=8 см ∠СМД=(180°-45°):2=67,5°
∠ВМР=∠СМД=67,5° как вертикальные .
В ΔВМР угол ∠МВР=45° , так как ∠МВР=∠МСД=45° как накрест лежащие углы при АР || СД и секущей ВС .
Но тогда в ΔВМР: ∠ВРМ=180°-45°-67,5°=67,5° , то есть ΔВМР есть два равных угла: ∠ВМР=∠ВРМ=67,5° , тогда этот треугольник равнобедрен-ный и ВМ=ВР=2 см .
Тогда ВС=СМ+ВМ=8 +2 =10 см , АД=ВС=10 см
Периметр Р=10+10+8+8=36 см .