1.Дана правильная четырехугольная пирамида с высотой 6 и со стороной основания 4. найдите двугранный угол между плоскостью основания и боковой гранью и площадь полной поверхности пирамиды. Решение. Определение: "Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям)". Дана правильная пирамида SАВСD, значит в основании ее лежит квадрат АВСD, а вершина S проецируется в центр квадрата О. Тогда искомый угол - угол SHO - угол между апофемой грани и отрезком ОН, соединяющим центр основания с серединой его стороны ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. Апофема (высота грани) по Пифагору SН=√(SO²+OH²) или SH=√(36+4)= 2√10. Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета (высота) к гипотенузе (апофема) или Sinα=6/2√10=0,3√10≈0,949. α=arcsin0,949 или α≈71,6°. Или: тангенс этого угла - отношение противолежащего катета SO к прилежащему ОН, то есть Tgα=6/2=3. α=arctg3 или α≈71,6°. ответ: α≈71,6° Площадь основания - площадь квадрата: So=16. Площадь боковой поверхности - площадь четырех боковых граней (треугольников): Sбок=4*(1/2)*4*2√10=16√10. Площадь полной поверхности пирамиды: S=So+Sбок=16(1+√10). Это ответ.
2. Дана правильная усечённая четырехугольная пирамида, стороной основания которой равны 12 и 16. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти площадь боковой поверхности усечённой пирамиды. Решение. Опустим из середины верхнего основания Е перпендикуляры ЕН - к плоскости основания и EF - к ребру АВ. EFPG - сечение данной усеченной пирамиды - равнобокая трапеция, в которой высота ЕН делит основание на два отрезка, меньший из которых ЕН равен полуразности оснований (свойство), то есть ЕН=(16-12):2=2. В прямоугольном треугольнике ЕFH острый угол EFH равен 45°. Значит ЕН=FH=2. Усеченную апофему найдем по Пифагору: EF=√(ЕН²+FH²) или EF=√(4+4)= 2√2. Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобокие трапеции с высотой - усеченной апофемой, равной EF=2√2 и основаниями, равными 16 и 12 (дано), значит искомая площадь равна площади четырех таких граней: Sбок=4*(12+16)*2√2/2=112√2. Это ответ.
Посмотрите решение, по возможности перепроверьте вычисления: 1. По т. Пифагора можно найти половину стороны основания, так как боковое ребро, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник: √(5²-3²)=4. Тогда сторона основания равна 8 см. 2. Площадь боковой поверхности состоит из утроенной площади боковой грани (равнобедренный треугольник с основанием 8 см, высотой 3 см.), то есть Пл_боковой_поверхности=3*0,5*8*3=36 см². 3.Высота пирамиды соединяет вершину вне основания и центр описанной окружности, которая описана вокруг треугольника в основании. Зная, что сторона правильного Δ-ка равна 8 см., можно найти радиус описанной окружности: Радиус_описанной окружности=2/3 *8*sin60°=8/√3. Тогда высота пирамиды находится из прямоугольного Δ-ка, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания и боковым ребром (последние равны 8/√3 и 5 см.): √(25-(64/3))=√11/3 4. V=1/3 *SΔ*h; V=1/3 *1/2 *8²*sin60°*√11/3
Решение.
Определение: "Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям)".
Дана правильная пирамида SАВСD, значит в основании ее лежит квадрат АВСD, а вершина S проецируется в центр квадрата О. Тогда искомый угол - угол SHO - угол между апофемой грани и отрезком ОН, соединяющим центр основания с серединой его стороны ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ.
Апофема (высота грани) по Пифагору SН=√(SO²+OH²) или
SH=√(36+4)= 2√10.
Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета (высота) к гипотенузе (апофема) или Sinα=6/2√10=0,3√10≈0,949.
α=arcsin0,949 или α≈71,6°.
Или: тангенс этого угла - отношение противолежащего катета SO к прилежащему ОН, то есть Tgα=6/2=3. α=arctg3 или α≈71,6°.
ответ: α≈71,6°
Площадь основания - площадь квадрата: So=16. Площадь боковой поверхности - площадь четырех боковых граней (треугольников):
Sбок=4*(1/2)*4*2√10=16√10.
Площадь полной поверхности пирамиды: S=So+Sбок=16(1+√10). Это ответ.
2. Дана правильная усечённая четырехугольная пирамида, стороной основания которой равны 12 и 16. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Решение.
Опустим из середины верхнего основания Е перпендикуляры ЕН - к плоскости основания и EF - к ребру АВ.
EFPG - сечение данной усеченной пирамиды - равнобокая трапеция, в которой высота ЕН делит основание на два отрезка, меньший из которых ЕН равен полуразности оснований (свойство), то есть ЕН=(16-12):2=2.
В прямоугольном треугольнике ЕFH острый угол EFH равен 45°. Значит ЕН=FH=2. Усеченную апофему найдем по Пифагору: EF=√(ЕН²+FH²) или
EF=√(4+4)= 2√2.
Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобокие трапеции с высотой - усеченной апофемой, равной EF=2√2 и основаниями, равными 16 и 12 (дано), значит искомая площадь равна площади четырех таких граней:
Sбок=4*(12+16)*2√2/2=112√2. Это ответ.