ТЕКСТ ЗАДАНИЯ Окружность вписана в треугольник АВС и касается ее сторон в точках M, K, N. АК=5см, BM=7см, CN= 4см. Найдите: 1) длины сторон треугольника АВС и поясни свой ответ 2) периметр треугольника АВС
Чтобы найти площадь трапеции abcd, мы должны использовать формулу для площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2,
где S - площадь трапеции, a и b - длины оснований трапеции, h - высота.
Поскольку дана равнобедренная трапеция, то длины ее оснований a и b равны. Обозначим эту длину как x.
Также, из условия задачи мы знаем, что высота трапеции равна 2 см.
Мы также знаем, что угол a равен 30°. Обратим внимание, что это угол при вершине трапеции.
Используя свойства геометрических фигур, мы можем сказать, что углы AEB и AED (где E - середина стороны bc) равны. Так как угол a равен 30°, то угол AEB равен 30°.
Из рисунка вытекает, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником, так как BC || AD, и углы ABC и AED являются прямыми углами.
Теперь мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников, чтобы найти длины сторон трапеции.
Так как угол AEB равен 30°, то угол BAE также равен 30°. Тогда угол ABC равен 90° - 30° = 60°.
Теперь мы можем использовать тригонометрический соотношение для прямоугольного треугольника:
tg(ABC) = BC / AB.
В нашем случае:
tg(60°) = bc / AB.
tg(60°) = (4√3) / AB.
tg(60°) = √3.
AB = (4√3) / √3.
AB = 4 см.
Таким образом, длина основания трапеции равна 4 см.
Теперь мы можем использовать формулу для площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2.
S = (x + x) * 2 / 2.
S = 2x.
S = 2 * 4.
S = 8 квадратных сантиметров.
Ответ: площадь трапеции abcd равна 8 квадратных сантиметров.
Два угла треугольника равны 40° и 52°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.
- - -
Дано :ΔАВС.
∠А = 40°.
∠В = 52°.
ВН₁ и АН₂ - высоты.
Точка О - ортоцентр (точка пересечения высот).
Найти :∠АОВ = ? (или ∠Н₁ОН₂, не важно, так как они равны как вертикальные).
Решение :Немного о расположении ортоцентра О :
Для начала найдём ∠С.
По теореме о сумме углов треугольника -
∠А + ∠В + ∠С = 180°
∠С = 180° - ∠А - ∠В
∠С = 180° - 40° - 52°
∠С = 88°.
Так как все углы ΔАВС - острые, то ортоцентр О лежит внутри ΔАВС.
- - -
Рассмотрим ΔСВН₁ - прямоугольный (так как ∠ВН₁С = 90° по определению высоты треугольника).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.Тогда -
∠Н₁СВ + ∠Н₁ВС = 90°
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - 88°
∠Н₁ВС = 2°.
Теперь рассмотрим ΔОВН₂ - прямоугольный (так как ∠ОН₂В = 90°).
По выше сказанному -
∠ВОН₂ + ∠ОВН₂ = 90°
∠ВОН₂ = 90° - ∠ОВН₂
∠ВОН₂ = 90° - 2°
∠ВОН₂ = 88°.
- - -
∠ВОН₂ и ∠АОВ - смежные.
Сумма смежных углов равна 180°.Следовательно -
∠ВОН₂ + ∠АОВ = 180°
∠АОВ = 180° - ∠ВОН₂
∠АОВ = 180° - 88°
∠АОВ = 92°.
ответ :92°.