Question

Впрямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известны ребра ab=6, ad=4, aa1=10. точка f принадлежит ребру bb1 и делит его в отношении 2: 3 считая от вершины в. найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки a, f и c1

Answer 1

Проведем прямые через точки А и F в плоскости АВВ1, через F и С1 в плоскости ВСС1. Очевидно еще одна вершина cечением лежит на ребре DD1. АС это проекция диагонали АС1 сечения. Середина АС точка К это проекция середины АС1 точки Е. Проводим прямую FЕ - она пересекает DD1 в точке P. Отрезки АP и PС1 замыкают сечение - четырехугольник АPС1F.
Этот четырехугольник - параллелограмм, т к линии пересечения с параллельными плоскостями параллельны.
Площадь параллелограмма найдем по формуле $S=AP*AF*sinA$
В треугольнике AFB: FB=2/5 BB1=2/5 *10=4, АВ=4 по условию, значит треугольник AFB прямоугольный, равнобедренный, тогда  AF= 4√2;
Треугольники AFB и C1PD1 равны, FB=PD1=4, PD=10-4=6.
В треугольнике APD: PD=6, АD=6 по условию, значит треугольник APD прямоугольный, равнобедренный, тогда  AP= 6√2;
В прямоугольном треугольнике PNF: FN параллельна DB и равна [
tex] \sqrt{36+16}= \sqrt{52} [/tex],  PN=2, $PF= \sqrt{52+4}= \sqrt{56};$
По теореме косинусов $PF^{2}=AP^{2}+AF^{2}-2*AP*AF*cosA;$
$cosA= \frac{72+32-56}{2*6 \sqrt{2}*4 \sqrt{2} } = \frac{48}{96}= \frac{1}{2};$
Угол $A=60$,  $sinA= \frac{ \sqrt{3} }{2} ;$
$S= 6\sqrt{2}*4 \sqrt{2}* \frac{ \sqrt{3} }{2}=24 \sqrt{3$