Есть три варианта расположения центрального угла относительно вписанного: 1) Центр окружности расположен внутри вписанного угла 2) Центр окружности расположен вне вписанного угла 3) Сторона вписанного угла совпадает с диаметром окружности.
Все три доказываются одинаково Рассмотрим первый случай. ΔAOB - равнобедренный, т.к. ОА и ОВ - радиусы окружности Значит, ∠ВАО=∠АВО. ∠ВОD - внешний для угла ∠ВОА => ∠BOD=∠BAO+∠ABO = 2*∠BAO То же самое для ΔАОС: ∠DOC=2*∠OAC Так как ∠ВАС=∠ВАО+∠ОАС и ∠BOC=∠BOD+∠DOC => ∠BOC=2*∠BAC
ΔАСВ - равнобедренный, АС = ВС (по условию); ∠С = 90°; СН - высота.
Найти СН
Решение:
Если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то оба его катета равны (АС = ВС) А высота СН, проведённая из прямого угла, является и медианой и биссектрисой,
⇒ СН разделит АВ пополам, т. е. АН = НВ = 5см - (свойство медианы)
⇒ ∠АСН = ∠НСВ = 45° - (свойство биссектрисы)
Рассмотрим Δ АНС: ∠АНС = 90° (т.к. НС - высота);
∠АСН = 45°
∠НАС = 180 - 90 - 45 = 45° (сумма ∠∠∠ Δ=180°)
⇒ Δ АНС - равнобедренный (∠АСН = ∠НАС = 45°)
⇒ НС = НА = 5 см
ответ: НС = 5см