в треугольнике abc, ac = cb = 8, угол acb = 120 градусов. точка m удалена от плоскости треугольника на расстоянии 12 см и находится на равном расстоянии от вершин треугольника abc.
найти угол между ma и плоскостью треугольника abc
точка m находится на равном расстоянии от вершин треугольника abc, следовательно, наклонные ма, мс и мв равны, их проекции также равны, а м проецируется в центр в описанное вокруг δ авс окружности.
оа = ов = ос = r
углы при а и в равны, как углы при основании равнобедренного треугольника.
∠а = ∠в = (180º-120º): 2 = 30º
по т.синусов
r = (ac: sin 30º): 2 = (8: 0,5): 2 = 8 см
δ мoa - прямоугольный, мо = 12, ов = 8, и tg ∠mao = 12/8 = 1,5
∠mao = ≈56º20 "
Угол СОВ - центральный, а угол САВ - вписанный. Опираются на одну и ту же дугу.
Значит угол СОВ = 2*30 = 60 град
Тр-ик СОД - прямоуг, т.к. касательная СД перпендикулярна радиусу ОС.
Значит угол СДО = 90-60 = 30 град.
Получилось, что в тр-ке АСД: угол САД = углу СДА = 30 град
Значит тр-ик АСД - равнобедренный, что и требовалось доказать.