Пусть в прямоугольном треугольнике АВС угол С=90°, АС:ВС=3:4 по условию. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на треугольники, подобные исходному и друг другу. Поэтому в ∆ АСН отношение АН:СН=3:4. Примем коэффициент этого отношения равным а. Тогда АН=3а, СН=4а, ВН=3а+14.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. СН²=АН•ВН => 16а²=3а•(3а+14) ⇒ 16а²-9а²=42а. При сокращении обеих сторон уравнения на а получим 7а=42, откуда а=6 см. Тогда высота СН=4•6=24 см, АВ=АН+ВН=6а+14=50 см. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой высота проведена.
S =CH•АВ/2=24•50:2=600 см²
============
Тот же результат получим, применив для решения отношение СН:ВН=3:4.
Пусть длина прямоугольника равна АВ=а, а ширина(меньшая сторона) ВС=в, тогда периметр
Р = 2(а + в) = 54
а + в = 27
а = 27 - в (1)
В прямоугольном треугольнике, образованном большей стороной прямоугольника АВ=а и двумя одинаковыми катетами АМ = ВМ = с
а² = 2с²
с² = 0,5а² (2)
В другом прямоугольном тр-ке АМД, образованном гипотенузой АМ = с и катетами АД = в и МД = 0,5а
с² = в² + (0,5а)² (3)
Приравняем правые части (2) и (3)
0,5а²= в² + (0,5а)²
в² = 0,5а² - 0,25а²
в² = 0,25а²
в = 0,5а
а = 2в (4)
Приравняем правые части (1) и (4)
27 - в= 2в
3в = 27
в = 9
ответ: меньшая сторона прямоугольника равна 9см