Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD ( S – вершина) со стороной основания a и боковым ребром b ( b > a ). Сфера с центром в точке O лежит над плоскостью основания ABCD , касается этой плоскости в точке A и, кроме того, касается бокового ребра SB . Найдите объём пирамиды с рисунком и решением
Для начала, давай определимся с величинами, которые нам даны. У нас есть правильная четырёхугольная пирамида SABCD. S - вершина пирамиды, а основание пирамиды - четырёхугольник ABCD со стороной a. Боковое ребро SB имеет длину b, причем b больше, чем a.
Также нам известно, что сфера с центром в точке O лежит над плоскостью основания ABCD, касается этой плоскости в точке A и касается бокового ребра SB. Наша задача состоит в том, чтобы найти объём данной пирамиды.
Для решения этой задачи, давай воспользуемся следующими свойствами. Во-первых, объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды. Во-вторых, площадь основания пирамиды можно найти, зная сторону и периметр основания.
Давай начнем с вычисления площади основания пирамиды. Основание пирамиды - четырехугольник ABCD. Поскольку ABCD - правильный четырехугольник, у которого все стороны равны, то его площадь можно найти, зная длину одной его стороны a, по следующей формуле: S_осн = a^2.
Теперь давай найдем высоту пирамиды. Для этого нам понадобится использовать свойство касания сферы и бокового ребра SB. Поскольку сфера касается плоскости ABCD в точке A и бокового ребра SB, то прямая SC является высотой пирамиды, а радиус сферы является поверхностным радиусом боковой грани пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как h.
Так как радиус сферы является поверхностным радиусом боковой грани пирамиды, то он равен высоте боковой грани пирамиды. Следовательно, мы можем обозначить это как R = h.
Легко заметить, что прямоугольный треугольник ABC получается в результате проекции пирамиды на плоскость ABCD, и его гипотенуза равна основанию пирамиды (стороне a). Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту боковой грани пирамиды:
h^2 = b^2 - a^2.
Теперь, когда у нас есть площадь основания пирамиды и высота пирамиды, мы можем найти ее объем:
V = (1/3) * S_осн * h.
Подставим значения S_осн и h, которые мы уже нашли:
V = (1/3) * a^2 * sqrt(b^2 - a^2).
Таким образом, мы нашли объем заданной пирамиды.
Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и полезным для тебя. Если у тебя возникнут какие-либо вопросы, не стесняйся задавать их мне!