Найдите расстояние от точки M до стены BC, если угол при вершине B равностороннего треугольника ABC равен 120 градусам, CM -биссектриса, AM = 14 см, AB = BC.
Действительно: CB₁/AB₁=BC/BA =14/15 (свойство биссектрисы BB₁ в ΔABC) ⇒ CB₁=14k ,AB₁ =15k ,CA=CB₁+AB₁ =29k ⇒ CB₁/CA =14/29. --- аналогично : A₁P/PA=BA₁/BA =7/15 (свойство биссектрисы BP в ΔABA₁) ⇒A₁P=7m, PA =15m , A₁A=A₁P+PA) =22m ⇒ A₁P/A₁A =7/22.
Таким образом получили: S(A₁PB₁C) =S*14/29 -(S/2)*(7/22). Площадь треугольника вычисляем по формуле Герона : S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√21(21-14)(21-15)(21-13) =√21*7*6*8 = √(7*7*3*3*2*2*4) =7*3*4 =84.
Пусть BM = x см, тогда AB = BC = 14 + x см.
По теореме Косинусов: AC² = AB² + BC² - 2AB * BC * cos 120°
AC² = 2AB² + AB² = 3AB² получаем AC = AB√3 = (14+x)√3 см
По свойству биссектрисы: AM/BM = AC/BC
14/x = (14+x)√3/(14+x) ⇒ x = 14/√3 см.
Нужно найти MD по условию. ∠DBM = 180° - 120° = 60° (как смежные), следовательно, MD = √3/2BM = √3/2 * 14/√3 = 7 см.
ответ: 7 см.