Question

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равный 10. Найдите объем шара, вписанного в нее

Answer 1

Объём шара определён формулой: $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Шар можно вписать в любую правильную пирамиду.  Центр шара лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является апофема пирамиды, а высотой - высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности.

Радиус шара R, высота пирамиды H и радиус окружности r, вписанной в основание пирамиды, связаны соотношением: $\dfrac{R}{H-R}=\dfrac{r}{\sqrt{H^2+r^2}}$

Радиус основания r = AD/2 = 10/2 = 5. Высота пирамиды H определим по теореме Пифагора из треугольника SO₁E, предварительно вычислив апофему SE

$SE=\sqrt{SD^2-(DC/2)^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$

$H=\sqrt{SE^2-r^2}=\sqrt{75-25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Из заданного соотношения найдём радиус шара

$\dfrac{R}{H-R}=\dfrac{r}{\sqrt{H^2+r^2}}~\Rightarrow~\dfrac{R}{5\sqrt{2}-R}=\dfrac{5}{\sqrt{50+25}}$

$R\sqrt{3}=5\sqrt2-R$

$R=\dfrac{5\sqrt{2}}{1+\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt{2}(\sqrt3-1)}{2}$

Объём шара: $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot \left(\dfrac{5\sqrt2(\sqrt3-1)}{2}\right)^3=\dfrac{750\sqrt6-1250\sqrt2}{3}\pi$

Answer 2

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равный 10. Найдите объем шара, вписанного в нее.

Объяснение:

Шар вписан в  правильную пирамиду ⇒  касается боковых граней.

В сечении , проходящем через высоту пирамиды и апофемы противоположных боковых граней , лежит равнобедренный треугольник с вписанным кругом.  Центр круга лежит на высоте пирамиды, высоте равнобедренного ΔМРК . Радиус шара равен радиусу вписанного круга.

V= $\frac{4}{3} \pi R^{3}$ , R=OP=ОМ.

Т.к. все ребра равны 10 ед, то из ΔАВС по т. Пифагора АС=√(10²+10²)=10√2 ⇒ АО= 5√2 по свойству диагоналей квадрата.

Тогда из прямоугольного ΔАЕМ , МЕ=√(10²-(5√2)² )=√(100-50)=5√2 .

ΔРОЕ -прямоугольный , ОЕ=МЕ-МО , ОЕ=5√2-R. Тогда по т. Пифагора  РО²=ОЕ²+РЕ² или

R²=(5√2-R)²+5²

R²=25*2-2*5√2*R+R²+25,75

10√2R=75 ⇒ R=7,5/√2.

V=  $\frac{4}{3} \pi (\frac{7,5}{\sqrt{2} }) ^{3}= \frac{4}{3} *\frac{7,5*7,5*7,5}{2\sqrt{2} } *\pi$ =  $\frac{2,5*15*7,5}{\sqrt{2} } *\pi$ = $\frac{281,25}{\sqrt{2} } *\pi$ = $\frac{281,25\sqrt{2} }{2} *\pi$

V=140,625√2*π ед³ или

V= $\frac{1125\sqrt{2}*\pi }{8}$ ед³ .