Question

Две прямые касаются окружности с центром О в точка P и Q и пересекаются в точке A, причем угол PAQ = 120, а радиус окружности равен 3. а) Найти длину отрезка АО
б) Прямая PQ пересекает отрезок AO в точке К. Найдите длину отрезка OK.

Answer 1

2√3 см;  ≈2,6 см

Объяснение:

РАО - прямоугольный по свойству радиуса и касательной к окружности.

∠РАО=1/2 ∠РАQ, что следует из равенства треугольников РАО и QАО (АР=АQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, ∠АРО=∠АQО=90°,  АО - общая сторона)

∠РАО=120:2=60°, тогда ∠РОА=90-60=30°

а) Найдем АО по теореме синусов

ОР/sin60°=AO/sin90°

AO=3*1:√3/2=6/√3=6√3/3=2√3 cм

б) КР=1/2 ОР по свойству катета, лежащего против угла 30°

КР=1,5 см

ОК=√(3²-1,5²)=√(9-2,25)=√6,75≈2,6 см.

Answer 2

$AO =2\sqrt{3}\\KO =1.5\sqrt{3}$

Объяснение:

Если ∠PAQ = 120°, то угол ∠PAO = 60°, поскольку AO  это биссектриса угла. ∠APO - прямой, поскольку AP - касательная. Значит ∠POA = 180-60-90=30°

OP = 3.

AO - гипотенуза в прямоугольном треугольнике.

$\frac{OP}{AO} = \cos(POA)\\AO = \frac{OP}{ \cos(POA)} = \frac{3*2}{ \sqrt{3} } =2\sqrt{3}$

Из треугольника OKP имеем

$\frac{KO}{PO}=\cos(POK) \\KO = PO\cos(POK) =3*\frac{\sqrt{3} }{2} =1.5\sqrt{3}$