Поскольку ромб является одним из видов параллелограмма, то диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.Кроме этого, диагонали ромба обладают другими свойствами.Теорема.(Свойство диагоналей ромба)Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.Дано:ABCD — ромб,AC и BD — диагонали.Доказать: AC и BD — биссектрисы углов ромба.Доказательство:Рассмотрим треугольник ABC.AC=BC (по определению ромба).Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (поопределению равнобедренного треугольника).Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то AO=OC.Значит, BO — медиана треугольника ABC (по определению медианы).Следовательно, BO — высота и биссектриса треугольника ABC (по свойству равнобедренного треугольника).То есть, BD — биссектриса углов ABC (и ADC). Из треугольника ABD аналогично доказывается, что AC — биссектриса углов BAD и BCD.Что и требовалось доказать.
Равносторонний ΔАВС (АВ=ВС=АС, <А=<В=<С=60°). Проведем окружность с центром А и радиусом, равным АВ. Значит, точки В и С лежат на этой окружности. Центральный А оприается на дугу ВС=60°. на этой дуге ВС отметим точку К. Тогда вписанный угол ВКС опирается на дугу ВС=360-60=300°, значит <ВКС=300/2=150°. Если рассмотреть четырехугольник ВКСМ, то в нем <ВКС+<ВМС=150+30=180°. Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Т.к. точки В, К и С лежат на одной окружности, проведенной нами, и известно, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну, то и точка М лежит на этой окружности. ΔАМС - равнобедренный (радиусы АМ=АС), значит углы при основании равны (<АМС=<АСМ=20°). ответ: 20°
