Мм 14,7 FK - ? FN=10
VІІ класс
D - середина ВС, #rg
CD - 9,
AC - ?
изМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
Таблица
1
M
Р
K
N
А
B
C D
MN - 12, ЕР - ?
5
ЕР - 36,
EM 3MP,
EM, MP –?
3
10
14
АВ-9, АС - 7,
BD - 5,
CD-?
B
P
E
E
N
м
кL-11,
р- середина кс,
PS-4,
SL - ?
2
AB - 15, BD - ?
6
D
с
в
K
P
AB - 15,
AC - 4-BC,
АС, ВС - ?
s
L
6
7
А
с
D
B
11
15
CD - 16,
M - середина CD,
CN-11,
MN - ?
АВ - 22,
м - середина AB,
N — середина МВ,
АN - ?
3
КР - 21,
KL-LP-5,
KL, LP - ?
7
MN - 24,
мк - KN-12,
MK, KN - ?
M N
M
N
В
І.
P
M
K
N
12
16
4
8
ST - 36,
SR - RT -4,
SR, RT - ?
BC = 30,
CD - BD - 20,
BD, CD - ?
ЕР - 20,
к - середина ЕЕ,
MP - 16,
мк – 2
CD 30,
Е - середина PD,
Р- середина СЕ,
FD-2
E
M
K
с
F
E
D
R
Пояснения к рисунку. Стороны треугольника я обозначил буквами a, b, c, напротив стороны a по условию лежит угол ∠A = 120°; l - биссектриса этого угла. Буквами x и y я обозначил отрезки сторон от вершины A до концов биссектрис. Стороны треугольника с вершинами в концах биссектрис я обозначил, как k, m, n;
Нужно доказать, что k^2 = m^2 + n^2; тогда треугольник - прямоугольный.
По ходу решения понадобится выразить длину биссектрисы через стороны, я для этого воспользуюсь вот чем.
2*S = bc*sin(A) = bl*sin(A/2) + cl*sin(A/2);
l = 2bc*cos(A/2)/(b + c) = bc/(b + c);
Длины отрезков x и y также легко найти, и они очень похожи на l
x = bc/(a + b); y = bc/(a + c); это элементарно находится из свойства биссектрисы. Теперь можно приступить к решению.
Из теоремы косинусов легко найти
k^2 = x^2 + y^2 + xy;
m^2 = l^2 + x^2 - xl;
n^2 = l^2 + y^2 - yl;
Кроме того, для всего треугольника тоже есть связь
a^2 = c^2 + b^2 + bc;
Легко видеть, что надо доказать, что
2l^2 = xl + yl + xy;
или
2/(b+c)^2 = 1/(b+c)(a+b) + 1/(a+c)(b+c) + 1/(a+b)(a+c);
или (что тоже самое, все преобразования - обратимы)
2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2;
Если будет доказано это, то, делая обратные манипуляции, можно показать, что для k, m, n выполняется теорема Пифагора, что и нужно.
Но последнее соотношение легко получить из
a^2 = c^2 + b^2 +cb; =>
a^2 + ab + ac + bc = c^2 + b^2 + 2cb + ab + ac; =>
(a + b)(a+c) = (b+c)(a + b + c); =>
2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; откуда следует
k^2 = m^2 + n^2; и треугольник прямоугольный.