с прямым углом 
, EF — биссектриса 
, 
, FG — искомый отрезок. 
. 
— биссектриса, то 
(биссектриса делит на два равные угла). 
(это следует из условия: так как прямоугольный, то и ; так как 
— расстояние от 
до 
, то 
).
и 
, то и третий угол первого треугольника равен третьему углу второго треугольника: 
. Это следует из того факта, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Тогда можно записать так:
. является для обоих треугольников общей. (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам ( — сторона, а 
— два прилежащих угла)). соответствует 
, тогда:
. Смотрите второй рисунок.
1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4
К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4
N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4
По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)
2.
Из решения первой задачи следует, что
АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC
По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)