Question

"В треугольнике MNK MN = 15, NK = 17, ∠MKN = arccos(8/17). Найдите площадь треугольника".

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о тригонометрии и формулах для нахождения площади треугольника.

Шаг 1: Найдем значение стороны MN, используя теорему косинусов. Формула для нахождения стороны треугольника по двум сторонам и углу между ними:
MN^2 = NK^2 + KM^2 - 2 * NK * KM * cos(∠MKN).

Подставляем известные значения:
MN^2 = 17^2 + 15^2 - 2 * 17 * 15 * cos(arccos(8/17)).

Выполняем вычисление внутри косинуса:
MN^2 = 289 + 225 - 2 * 17 * 15 * (8/17).

Упрощаем:
MN^2 = 289 + 225 - 2 * 15 * 8.

Продолжаем упрощать:
MN^2 = 289 + 225 - 240.

Выполняем сложение и вычитание:
MN^2 = 274.

Извлекаем квадратный корень:
MN = √(274).

Шаг 2: Найдем площадь треугольника, используя формулу Герона. Формула для нахождения площади треугольника по длинам его сторон:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
где a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2).

Подставляем известные значения:
a = 17, b = 15, c = √(274).
p = (17 + 15 + √(274))/2.

Выполняем сложение:
p = (32 + √(274))/2.

Делим на 2:
p = 16 + √(274)/2.

Упрощаем:
S = √((16 + √(274)/2) * (16 + √(274)/2 - 17) * (16 + √(274)/2 - 15) * (16 + √(274)/2 - √(274))).

Выполняем вычисления внутри квадратных скобок:
S = √((16 + √(274)/2) * (-1/2) * (1/2) * (-√(274)/2)).

Упрощаем:
S = √((-√(274)/2)^2).

Упрощаем:
S = √(274/4).

Выполняем вычисления внутри корня:
S = √68.5.

Записываем результат в приближенном виде:
S ≈ 8.287.

Итак, площадь треугольника равна примерно 8.287 (единицы площади).

Таким образом, я нашел площадь треугольника, используя заданные данные и тригонометрические формулы.