Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.
Объяснение:
1) ΔВ₁ВА=ΔD₂DA как прямоугольные по гипотенузам АВ=АD и острым углам ∠1=∠3 ( т.к. ∠1=90-∠D₂AD=90-(x+∠2)= ∠3 по свойству острых углов прямоугольного треугольника) ⇒BB₁=AD₂(*) ;
2) ΔВ₂ВА=ΔD₁DA как прямоугольные по гипотенузам АВ=АD и острым углам ∠2=∠4 ( аналогично) ⇒BB₂=AD₁ (**) ;
3) ΔВ₁КВ∼ ΔВ₂КA по двум углам ∠В₁=∠В₂=90 ,. ∠В₁КВ=∠В₂КА ⇒∠В₁ВК=∠В₂АК (***) ;
4) ΔВВ₁В₂=ΔАD₂D₁ по двум сторонам и углу между ними (*), (**) (***) .В равных треугольниках соответственные элементы равны: B₁B₂=D₁D₂
5)AD₁⊥BB₂ , AD₂(или AB₁) ⊥BB₂ , значит DD₁⊥ВВ₁
ответ: угол А=36°
Объяснение: проведём из вершин верхнего основания к нижнему основанию АД две высоты ВН и СК. Они делят АД так что НК=ВС=7. АН+ДК=12-7=5
Высоты также образуют 2 прямоугольных треугольника АВН и СДК, в которых высоты и отрезки АН и ДК являются катетами а боковые стороны трапеции являются гипотенузой. Обе высоты имеют одну величину в обоих треугольниках. Пусть ВН=х, тогда ДК=5-х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
5²-(5-х)²=8²-х²
25-(25-10х+х²)=64-х²
25-25+10х-х²=64-х²
10х-х²+х²=64
10х=64
х=64/10
х=6,4
Итак: АН=6,4
Найдём угол А через косинус угла. Косинус это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе:
cosA=AH/AB=6,4/8=0,8≈36°