Question

Постройте сечение куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, проходящие плоскостью через середины рёбер $AB, CD, BB_{1}$. Найдите площадь сечения, если $AB=2$

Answer 1

Чтобы построить сечение куба, проходящее через середины ребер AB, CD, BB1, нужно применить следующие шаги:

Шаг 1: Нам нужно визуализировать куб и указать середины ребер AB, CD, BB1.

Давайте сначала нарисуем куб, используя обозначенные точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.
A ____ B
/ /|
D____ A1 / |
| | |
| | |
|_______| /
B1 C1/

Точки A, B, C, D образуют основание куба, а точки A1, B1, C1, D1 -- вершины верхнего основания.

Теперь, чтобы найти середину ребра AB, нужно провести прямую линию от точки A до точки B и найти середину этой линии. Назовем эту точку M. Повторим аналогичные шаги для ребер CD и BB1, находим середины этих ребер и называем их N и P соответственно.

Шаг 2: Проведем плоскость через точки M, N и P.

Чтобы построить плоскость, нам нужно провести прямые линии через каждую из трех точек M, N и P, параллельные противоположным ребрам куба. Пусть эти линии пересекают ребра куба в точках X, Y и Z, соответственно.

Теперь у нас есть плоскость, которая проходит через середины ребер AB, CD и BB1 и образует сечение куба.

Шаг 3: Найдем площадь сечения.

Мы знаем, что AB = 2 (дано в вопросе). Также мы знаем, что многогранник, образованный сечением, является параллелограммом, так как две его стороны (ребра куба) параллельны прямым линиям, проведенным через середины ребер.

Площадь параллелограмма можно найти, умножив длину одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону.

Для нашего сечения, чтобы найти площадь, нужно найти длину стороны параллелограмма и высоту.

Поскольку M, N и P являются серединами ребер, каждая из прямых линий X-M, Y-N и Z-P является половиной длины соответствующего ребра.

Таким образом, длина стороны параллелограмма равна 2 * (1/2) = 1.

Теперь мы должны найти высоту параллелограмма. Обратите внимание, что MNP -- это равнобедренный треугольник, так как все его стороны (ребра куба) равны между собой. Поэтому, высота параллелограмма является линией, опущенной из вершины N на сторону параллелограмма X-M.

Обозначим это перпендикулярное падение через H.

Шаг 4: Найти высоту параллелограмма.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту параллелограмма.

По теореме Пифагора, длина гипотенузы (в данном случае сторона куба) в квадрате равна сумме квадратов длин острых углов (в данном случае сторона параллелограмма) и суммы квадратов высоты.

AB^2 = XN^2 + NH^2

AB = 2

1^2 = XN^2 + NH^2

1 = XN^2 + NH^2

NH^2 = 1 - XN^2

NH = sqrt(1 - XN^2)

Мы знаем, что XN = 1/2, так как XN является половиной длины ребра.

NH = sqrt(1 - (1/2)^2)

NH = sqrt(1 - 1/4)

NH = sqrt(3/4)

NH = sqrt(3)/2

Шаг 5: Найдем площадь сечения.

Площадь сечения параллелограмма можно вычислить, умножив длину стороны (1) на высоту (sqrt(3)/2).

Площадь сечения = 1 * sqrt(3)/2 = sqrt(3)/2.

Итак, площадь сечения куба ABCC1D1, проходящего через середины ребер AB, CD и BB1, равна sqrt(3)/2.