Продлим касательные до их пересечения в точке М.
Центры О и О₁ касающихся окружностей лежат на биссектрисе МО угла СМD.
r =O₁B=45, R=OD=90.
Радиусы О₁В и ОD, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной МD (свойство радиусов).
Из О₁ проведем О₁Н ║ МD. В параллелограмме О₁ВDО ∠В=∠D= 90°, следовательно, О₁ОDВ - прямоугольник.
HD=O₁B, ОН=90-45=45.
Прямоугольные ∆ МО₁В и ∆ МОD подобны по общему острому углу при М.
ОО₁=R+r=90+45=135
Косинус равных углов при О и О₁=ОН/ОО₁=45/135=1/3.
Тогда КО₁=О₁В•cos KO₁B=45•1/3=15
TO=DO•cos TOD=90•1/3=30
Расстояние между АВ и СD равно
КТ=ОО₁-ТО+КО₁=135-30+15=120 (ед. длины)
ответ: РМ=√3
Объяснение:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, отрезок СР - часть медианы из С, Продолжим ее до пересечения с АВ в точке К.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒ РК=СР:2=4:2=2.
Точка К - середина АВ. ⇒
АК=КВ=2.
Треугольник АКР равнобедренный ( АК=КР).
Из К опустим высоту КН на АР. Отрезок КН=АК:2=1 (свойство катета, противолежащего углу 30°).
Тогда АН=НР=КН•ctg30°=√3 ⇒ АР=2√3
По свойству медиан АР:РМ=2:1, поэтому РМ=0.5•2√3=√3