Через сторону АВ равностороннего треугольника АВС проведена плоскость а под углом 60° к плоскости АВС. Вычислите углы наклона двух сторон треугольника АВС к плоскости а. Желательно с решением
Пусть M и N, это середины оснований BC и AD равнобедренной трапеции ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, K и L — середины боковых сторон AB и CD. Тогда KM || AC || LN, ML || BD || KN, поэтому четырехугольник KMLN — прямоугольник. Значит, KL = MN, но KL — средняя линия трапеции, а MN — высота. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме. Доказательство Пусть ABCD – данная трапеция. Проведем через вершину B и середину N боковой стороны CD прямую, пересекающую прямую AD в точке F . Треугольники BCN и FDN равны по теореме 4.2, так как CN = ND, BCN = NDF как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ( BC ) и ( AD ) и секущей ( CD ). CNB = DNF как вертикальные. Из равенства треугольников следует равенство сторон: BN = NF, BC = DF . Средняя линия трапеции MN является средней линией треугольника ABF и по теореме 4.12 ( MN ) || ( AD ) || ( BC ) и Теорема доказана.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Следовательно, четырехугольник KLMN - параллелограмм (на всякий случай). а) NL - медиана треугольника ВNC. Следовательно, Sbnl=Scnl (свойство медианы). Но Sabln=Sdcln - дано. Значит и Sabn=Sdcn. Треугольники АВN и DCN имеют одинаковые основания, (точка N - середина отрезка AD. Значит и высоты ВР и CQ, проведенные к этим основаниям, равны. Перпендикуляры ВP=CQ, значит точки В и С прямой ВС находится на одинаковом расстоянии от прямой АD, то есть ВС параллельна AD, что и требовалось доказать. б) АВСD - трапеция (доказано выше). КМ - ее средняя линия. Skbcn=(1/2)(BC+KM)*h1 (площадь трапеции). Sakmd=(1/2)(AD+KM)*h2. Но h1=h2, так как КМ - средняя линия трапеции. Тогда Skbcn/Sakmd=(BC+KM)/(AD+KM). КМ=(ВС+АD)/2. Skbcn/Sakmd=(3ВС+AD)/BC+3AD=11/17 (дано) 51ВС+17AD=11BC+33AD. 40BC=16AD. ВC/AD=2/5.
Пусть M и N, это середины оснований BC и AD равнобедренной трапеции ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, K и L — середины боковых сторон AB и CD. Тогда
KM || AC || LN, ML || BD || KN,
поэтому четырехугольник KMLN — прямоугольник. Значит, KL = MN, но KL — средняя линия трапеции, а MN — высота.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Доказательство
Пусть ABCD – данная трапеция. Проведем через вершину B и середину N боковой стороны CD прямую, пересекающую прямую AD в точке F .
Треугольники BCN и FDN равны по теореме 4.2, так как CN = ND, BCN = NDF как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ( BC ) и ( AD ) и секущей ( CD ). CNB = DNF как вертикальные. Из равенства треугольников следует равенство сторон: BN = NF, BC = DF . Средняя линия трапеции MN является средней линией треугольника ABF и по теореме 4.12 ( MN ) || ( AD ) || ( BC ) и Теорема доказана.