Проведем DM ⊥ BC.
Тогда по теореме о трех перпендикулярах КМ ⊥ ВС и будет являться расстоянием от точки К до катета ВС .
По условию ΔАВС - прямоугольный. Тогда ∠ АСВ= 90°, ∠DMC =90° по построению . Значит, DM ║AC и проходит через середину. Тогда точка М - середина катета ВС и отрезок DM является средней линией ΔАВС.
Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна ее половине.
\begin{gathered}DM=\dfrac{1}{2} AC;\\DM=\dfrac{1}{2} \cdot 8=4\end{gathered}DM=21AC;DM=21⋅8=4
Тогда DM= 4 дм
Так как DК перпендикуляр к плоскости ΔАВС, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Значит, DК⊥ DМ и Δ DМК - прямоугольный.
Найдем КМ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
\begin{gathered}KM^{2} =KD^{2} +DM^{2}; \\KM= \sqrt{KD^{2} +DM^{2}} ;\\KM= \sqrt{3^{2} +4^{2} } =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5\end{gathered}
5 дм
Задано Вершини трикутника ABC A(-5,1), B(3,-2), C(3,4).
Знайти:
1) Координати описаного кола. Это задание надо, скорее всего, понимать так: найти уравнение окружности, описанной около треугольника АВС.
Для этого надо определить координаты центра этой окружности и найти её радиус.
Решение возможно по нескольким вариантам.
Вот один из них.
Центр описанной окружности находится как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
Есть формула, по которой сразу определяется уравнение серединного перпендикуляра по координатам вершин:
(x_1-x_2 )(x-(x_1+x_2)/2)+(y_1-y_2 )(y-(y_1+y_2)/2)=0.
Находим уравнение серединного перпендикуляра к стороне АВ.
Подставим координаты вершин А и В.
(-5-3)(x – ((-5+3)/2) + (1-(-2))(y – (1+(-2))/2) = 0,
-8(x + 1) + 3(y + (1/2)) = 0,
-8x – 8 + 3y + (3/2) = 0, умножим на (-2) и получаем уравнение:
16х – 6у + 13 = 0.
Второй перпендикуляр определяется просто, так как сторона ВС, имеющая точки с одинаковыми абсциссами, - это вертикальный отрезок прямой х = 3 между ординатами у = -2 и у = 4.
Середина её равна у = (-2+4)/2 = 1.
Значит, серединный перпендикуляр к стороне ВС – это горизонтальная прямая у = 1.
Находим их точку пересечения, подставив в уравнение первой прямой значение у = 1:
16х – 6*1 + 13 = 0, отсюда х = -7/16.
Получены координаты центра описанной окружности: О((-7/16); 1).
Далее надо найти радиус окружности.
Он равен расстоянию от центра окружности до любой вершины.
Находим R = OA = √((-5-(-7/16))² + (1-1)²) = 73/16 = 4,5625.
ответ: уравнение окружности (x + (7/16))² + (y – 1)² = (73/16)².
2) косинус кута BAC.
Находим векторы АВ и АС.
AB = {Bx - Ax; By - Ay} = {3 – (-5); -2 - 1} = {8; -3},
AC = {Cx - Ax; Cy - Ay} = {3 – (-5); 4 - 1} = {8; 3}.
Модули векторов равны:
|AB| = √(ABx2 + ABy2) = √(82 + (-3)2) = √(64 + 9) = √73,
|AC| = √(ACx2 + ACy2) = √(82 + 32) = √64 + 9 = √73.
ответ: cos(AB_AC) = (8*8 + (-3)*3)/(√73*√73) = 55/73 ≈ 0,7534.
Угол А равен 0,7175 радиан или 41,1121 градуса.
3) Координати точки D, яка ділить відрізок BC у відношенні до 2:3.
Для этого задания применяется формула:
x(D)=(x(B) + λ*x(C))/(1 + λ), где λ – отношение длин отрезков.
Получаем: x(D)=(3 + (2/3)*3)/(1 + (2/3)) = 3.
y(D)=(-2 + (2/3)*4)/(1 + (2/3)) = 2/5 = 0,4.
ответ: точка D(3; 0,4).
А1. ответ: 4.
А2. ответ: 4.
А3. ответ: 3.
А4. ответ: 1.
В1. Дано: ΔАВС, АВ = ВС = АС + 5 см, Р = 34 см.
Найти: АВ.
Решение: Пусть АС = х см, тогда АВ = ВС = х + 5,
x + (x + 5) + (x + 5) = 34
3x + 10 = 34
3x = 24
x = 8
АС = 8 см
АВ = ВС = 8 + 5 = 13 см
ответ: боковая сторона 13 см.
В2. Дано: ΔАВС, АВ = АС, АМ - медиана, Pabc = 40 см, Pabm = 33 см.
Найти: АМ.
Pabm = 33 см
АВ + ВМ + АМ = 33
2 · (АВ + ВМ + АМ) = 66
Так как АВ = АС, а ВМ = СМ, то
2АВ + 2ВМ + 2АМ = 66
АВ + АС + ВС + 2АМ = 66
2АМ = 66 - (АВ + АС + ВС) = 66 - Pabc = 66 - 40 = 16
AM = 16/2= 8 см
С1. 1) Если сумма равных сторон равна 26 см, то боковые стороны равны по 13 см, а основание - 10 см.
2) Обозначим боковые стороны а и b, основание - с.
а + с = 26 см
Рabc = 2а + с = 36 см
с = 36 - 2а
с = 26 - а
26 - a = 36 - 2a
a = 10 см
c = 16 см
ответ: 13 см, 13 см, 10 см или 10 см, 10 см, 16 см.
5 дм.
Объяснение:
Проведем DM ⊥ BC.
Тогда по теореме о трех перпендикулярах КМ ⊥ ВС и будет являться расстоянием от точки К до катета ВС .
По условию ΔАВС - прямоугольный. Тогда ∠ АСВ= 90°, ∠DMC =90° по построению . Значит, DM ║AC и проходит через середину. Тогда точка М - середина катета ВС и отрезок DM является средней линией ΔАВС.
Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна ее половине.
Тогда DM= 4 дм
Так как DК перпендикуляр к плоскости ΔАВС, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Значит, DК⊥ DМ и Δ DМК - прямоугольный.
Найдем КМ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Значит, KM= 5 дм - искомое расстояние