Question

Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция с острым углом $\alpha.$ Эта трапеция описана около окружности основания конуса. Вершина пирамиды лежит на одной из образующих конуса, а ее проекция на плоскость основания совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции. Найдите объем пирамиды, если образующая конуса равна $l$ и составляет с высотой угол $\beta .$

Answer 1

$\boldsymbol{V=\dfrac{4l^3\sin^2\beta\cdot \cos\beta (1-\cos\alpha)}{3\sin\alpha}}$

Объяснение:

Центр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, лежит на середине отрезка КЕ (точки К и Е - середины оснований).

Так как точка пересечения диагоналей лежит на том же отрезке, но ближе к меньшему основанию, высота пирамиды лежит на образующей конуса, проходящей через точку К.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, а суммы противолежащих сторон равны.

Итак, ВР = КЕ = 2R,

AB + CD = AD + BC

AD = b,  BC = a.

Чтобы найти высоту пирамиды, надо знать длину КН, а для этого найти расстояние между центром окружности и основанием высоты пирамиды ОН = х.

ΔАВР:  ∠АРВ = 90°,

$AB=\dfrac{BP}{\sin\alpha}=\dfrac{2R}{\sin\alpha }$

AP = BP · ctg α = 2R · ctg α

Тогда

$\boldsymbol{b+a}=AB+CD=2AB\boldsymbol{=\dfrac{4R}{\sin\alpha}}$

Так как по свойству равнобедренной трапеции

АР = (AD - BC) / 2, то

b - a = 2AP = 4R · ctg α

ΔAHD ~ ΔCHB по  двум углам, тогда их высоты относятся как сходственные стороны:

$\dfrac{HE}{HK}=\dfrac{b}{a}$

$\dfrac{R+x}{R-x}=\dfrac{b}{a}$

a(R + x) = b(R - x)

aR + ax = bR - bx

x(a + b) = R(b - a)

$x=\dfrac{R(b-a)}{b+a}=\dfrac{R\cdot 4R\cdot ctg\alpha}{\dfrac{4R}{\sin\alpha}}=R\cdot \cos\alpha$

KH = R - x = R(1 - cos α)

Справа на рисунке осевое сечение конуса, проходящее через хорду КЕ.

∠KSH = ∠KMO = β как соответственные при SH║MO и секущей КМ.

SH = KH · ctg β = R(1 - cos α) · ctgβ

Итак, объем пирамиды:

$V=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SH$

$S_{ABCD}=\dfrac{b+a}{2}\cdot 2R=\dfrac{2R}{\sin\alpha }\cdot 2R=\dfrac{4R^2}{\sin\alpha}$

$V=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{4R^2}{\sin\alpha }\cdot R(1-\cos\alpha )\cdot ctg\beta=\dfrac{4R^3ctg\beta (1-\cos\alpha)}{3\sin\alpha}$

Осталось из прямоугольного треугольника МОЕ выразить R:

$R=l\cdot \sin\beta$

$V=\dfrac{4l^3\sin^3\beta\cdot ctg\beta (1-\cos\alpha)}{3\sin\alpha}$

$\boldsymbol{V=\dfrac{4l^3\sin^2\beta\cdot \cos\beta (1-\cos\alpha)}{3\sin\alpha}}$

Answer 2

V =4/3 L³ sinB² cosB tg(A/2)