Question

При каком значении α векторы а(-1;4;α) b=(5;-1;2) образуют тупой угол

Answer 1

$\boxed{\alpha \in (-\infty;4,5)}$

Объяснение:

Вектора:

$\overrightarrow{a} (-1;4;\alpha )$

$\overrightarrow{b} (5;-1;2 )$

Модули векторов:

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}} = \sqrt{(-1)^{2} + 4^{2} +\alpha ^{2}} = \sqrt{ 1 + 16 + \alpha ^2}} = \sqrt{17 + \alpha ^{2}}$

$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}} = \sqrt{(5)^{2} + (-1)^{2} +2^{2}} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$

Скалярное произведение векторов:

$\displaystyle \left \{ {{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) } \atop { \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + y_{a}y_{b} }} \right \Longrightarrow \cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} { | \overrightarrow{a} | \cdot | \overrightarrow{b} |}$

$\boxed{ \cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} { | \overrightarrow{a} | \cdot | \overrightarrow{b} |} = \dfrac{x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + y_{a}y_{b}} { | \overrightarrow{a} | \cdot | \overrightarrow{b} |} }$

$\cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \dfrac{-1 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 2\cdot \alpha }{\sqrt{30} \cdot \sqrt{17 + \alpha ^{2}} } = \dfrac{-5 -4 + 2\cdot \alpha }{\sqrt{30} \cdot \sqrt{17 + \alpha ^{2}} } = \dfrac{2\alpha - 9}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{17 + \alpha ^{2}} }$

Векторы образуют тупой угол когда косинус угла между ними меньше нуля.

$\cos(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) < 0$

$\dfrac{2\alpha - 9}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{17 + \alpha ^{2}} } < 0$

Подкоренное выражение с α² всегда больше нуля поэтому при решении неравенств на множестве отрицательных чисел это выражение не играет никакой роли.

$2\alpha - 9 < 0$

$2\alpha < 9|:2$

$\alpha < 4,5$

$\alpha \in (-\infty;4,5)$