Вот если провести через ЭТУ вершину тупого угла прямую перпендикулярно МЕНЬШЕЙ диагонали, а ТУ САМУЮ сторону, к которой проведена (из ЭТОЙ вершины) высота, продлить до пересечения с этим перпендикуляром, то получится прямоугольный треугольник, у которого катеты равны диагоналям ромба, а высота к гипотенузе делит их на отрезки n и m + (m + n) = n + 2*m; (сама гипотенуза равна 2*(m + n)) Отсюда высота к гипотенузе определяется так h^2 = n*(n + 2*m); и меньшая диагональ ромба (которая соединяет вершины тупых углов) n^2 + h^2 = d^2 = 2*n^2 + 2*m*n = (m + n)^2 + n^2 - m^2; Большая диагональ D^2 = 4*(m + n)^2 - d^2 =3*(m + n)^2 + m^2 - n^2;
На самом деле в условии неявно предполагается, что точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой CD. В противном случае это не так :). Я в решении этим пользуюсь. Все точки, из которых отрезок DC виден под тем же углом, что и из точки А, лежат на дуге CAD окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Доказать это очень просто - если точка B лежит где то в другом месте (в одной полуплоскости с точкой A), то прямая DB или прямая CB пересекает дугу CAD (пересекать дугу могут и обе прямые, но важно именно то, что одна прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пересекает дугу), и из точки пересечения B1 хорда видна под тем же углом, то есть получается треугольник BB1C (или BB1D, берется именно та прямая, которая пересекает дугу CAD), у которого внешний угол равен внутреннему. Чего быть не может :). Поэтому четырехугольник ABCD вписанный, и углы CDB и CAB опираются на дугу CB. Поэтому они равны.
Отсюда высота к гипотенузе определяется так h^2 = n*(n + 2*m);
и меньшая диагональ ромба (которая соединяет вершины тупых углов)
n^2 + h^2 = d^2 = 2*n^2 + 2*m*n = (m + n)^2 + n^2 - m^2;
Большая диагональ D^2 = 4*(m + n)^2 - d^2 =3*(m + n)^2 + m^2 - n^2;