Question

Периметр паралелограма АВCD дорівнює 10 см. Бісектриси кутів А і D перетинаються в точці М, що сторона ВС ділить відрізок АМ навпіл. Знайдіть довжини сторін паралелограма.

Answer 1

1, 1, 4, 4

Объяснение:

Сумма смежных углов параллелограмма $A$ и $D$ равна $180^\circ ,$ тогда $\angle MAD + \angle MDA = \displaystyle\frac{{\angle A}}{2} + \displaystyle\frac{{\angle D}}{2} = \displaystyle\frac{{\angle A + \angle D}}{2} = \displaystyle\frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ .$

Значит треугольник $AMD$ — прямоугольный, $\angle AMD = 90^\circ .$

Т. к. точка $E$ — середина стороны $AM$ и $BC\parallel AD,$$EF$ — средняя линия этого треугольника, $EF = \displaystyle\frac{{AD}}{2}.$

Кроме того, $\angle EAD = \angle BEA$ как накрест лежащие, значит треугольник $ABE$ равнобедренный, $AB = BE.$

Аналогично равнобедренный и треугольник $FCD,$$FC = CD.$

$BC = BE + EF + FC = AB + \displaystyle\frac{{BC}}{2} + AB;$

$\displaystyle\frac{{BC}}{2} = 2AB;$

$BC = 4AB.$

Тогда периметр

$P = AB + BC + CD + AD = 2(AB + 4AB) = 10;$

$AB = 1;$

$BC = 4.$