Впрямоугольном параллелепипеде основание abcd- квадрат, точка к делит отрезок ac в отношении 1: 3, считая от вершины а. а) постройте сечение параллелепипеда плоскостью, содержащей точку к и перпендикулярной плоскостям (авс) и aa1c. построение обоснуйте. б) найдите площадь полученного сечения, если вс=4, ac1 = 4 корень из 6. в прямоугольном параллелепипеде боковая грань dd1c1c - квадрат, точка м делит отрезок d1cв отношении 1: 5, считая от вершины d1. а) постройте сечение параллелепипеда плоскостью, содержащей точку м и перпендикулярной плоскостям bcd1 и dcc1. построение обоснуйте. б) найдите площадь полученного сечения, если dd1 = 6, bd1 = корень из 88.
1б) АС=BD =4√2 (диагонали квадрата со стороной 4).
АК:КС=1:3, значит АК=(1/4)*АС=(1/2)*АО. Тогда в треугольнике ABD отрезок EF - средняя линия и равен (1/2)*BD. Или EF=2√2.
В прямоугольном треугольнике АС1С гипотенуза АС1=4√6 (дано), катет
АС=4√2. Значит высота параллелепипеда равна СС1=√(96-32)=8. FG=CC1=8.
Тогда площадь сечения равна EF*FG=2*8=16√2 ед².
2a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно сечения этого параллелепипеда, проходящие через диагонали боковых граней АА1В1В и DD1С1 также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны этим боковым граням, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку М параллельно сечению ADC1B1 и представляет собой прямоугольник.
2б) D1С=DC1 =6√2 (диагонали квадрата со стороной 6).
D1M:MС=1:5, значит D1M=(1/6)*D1С=(1/3)*D1О. Тогда треугольники DDC1 и ED1H подобны с коэффициентом подобия 1/3 и отрезок EH равен (1/3)*DС1. Или EН=(1/3)*6√2=2√2.
В прямоугольном треугольнике BD1D гипотенуза BD1=√88 (дано), катет
DD1=6. Значит диагональ основания параллелепипеда по Пифагору равна BD=√(88-36)=√52. Тогда AD=√(BD²-AB²)= √(52-36)=4. EF=AD=4.
Площадь сечения равна EF*EH=4*2√2=8√2 ед².