Дано: равнобедренная трапеция ABCD, P - середина AB, F - середина CD, BC = 4см, AD = 8см, периметр трапеции OPBC = 13см. Найти: периметр трапеции AOFD. Решение. 1) PF - средняя линия трапеции → PO = BC/2 = 4см/2 = 2см, OF = AD/2 = 8см/2 = 4см 2) Периметр OPBC(13см) = OP(2см)+PB+BC(4см)+CO → PB+CO = 13см-6см = 7см 3) PB=FD, т.к. средняя линия PF соединяет середины боковых сторон в равнобедренной трапеции; CO=AO, т.к. средняя линия PF делит диагональ AC на равные отрезки по теореме Фалеса → Периметр AOFD = (FD+AO)(7см)+OF(4см)+DA(8см) = 19см ответ: 19см.
Пусть h - высота треугольника BCP из вершины P и t - высота треугольника CBQ из вершины Q. Тогда высота ADP равна 3h (т.к. треугольники ADP и BCP подобны с коэффициентом подобия 3), А высота ADQ равна 3t (т.к. треугольники ADQ и CBQ тоже подобны с коэффициентом подобия 3). Значит, с одной стороны, высота трапеции равна 3h-h=2h, а с другой стороны, эта же высота трапеции равна t+3t=4t. Значит, 2h=4t, т.е. h=2t. Таким образом, площадь ADQ равна AD*3t/2=3BC*3t/2=9t*BC/2, площадь BCP равна BC*h/2=BC*2t/2=BC*t. Значит, искомое отношение площадей равно 9/2.
g - гипотенуза ▲ ABC
m- медиана ▲ ABC
Медиана m проведенная из прямого угла в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы g
m = g/2
P1=a+g/2+m =a+g периметр ▲ ADB P1=18
P2=b+g/2+m =b+g периметр ▲ ADC P2=25
g²=a²+b² по теореме Пифагора
подставим значения Р1 и Р2 и получим систему из 3-х уравнений:
18=a+g
25=b+g
g²=a²+b²
a=18-g
b=25-g
g²=a²+b²
0 ˂ g ˂ 18 стороны g,a,b не отрицательные и не равны нулю.
подставим вместо a и b их значение, получим квадратное уравнение и решим его:
g²=(18-g)²+(25-g)²
g²=2g²-86g+949
g²-86g+949 =0
корни квадр.урав-я g1 и g2
g1 = 13˂18
g2 = 73˃18
ответ:длинна гипотенузы = 13
смотри рисунок ниже