Пусть P — точка пересечения отрезков BL и AM. Треугольник ABM — равнобедренный, т.к. его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PM = 2, BC = 2BM = 2AB. По свойству биссектрисы треугольника CL/AL=BC/AB=2, т.е. AC = 3AL. Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AM. Тогда BK = AC = 3AL. Из продобия треугольников APL и KPB следует, что PL/BP=AL/BK=1/3 Поэтому PL = 1 и BP = 3. Следовательно, АВ²=АР²+ВР²=4+9=13, АВ=√13 ВС=2АВ=2√13 АL²=АР²+PL²=4+1=5. PL=√5 AC=3√5 ответ √13, 2√13, 3√5
Трапеция АВСД разбивается диагоналями АС и ВД на 4 треугольника. Точку пересечения диагоналей обозначим через О. Треугольники АВО и СДО имеют равные площади . Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам (<AOD=<BOC , <CBO=<ADO) В подобных треугольниках линейные отрезки относятся как корни из площадей, поэтому Рассм. треугольники ВОС и ДОС .Проведём в них общую высоту из вершины С на сторону ВО (ДО).Обозначим её h.Тогда Замечание. Докажем, что
Но площади треугольников АВД и АДС равны, так как у нич основание АД одно и то же и высоты их равны высоте трапеции.Отсюда следует равенство площадей треугольниковАОB и СОД:
.
Треугольник ABM — равнобедренный, т.к. его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PM = 2, BC = 2BM = 2AB.
По свойству биссектрисы треугольника CL/AL=BC/AB=2, т.е. AC = 3AL.
Проведём через вершину B прямую, параллельную AC.
Пусть K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AM. Тогда BK = AC = 3AL.
Из продобия треугольников APL и KPB следует, что PL/BP=AL/BK=1/3
Поэтому PL = 1 и BP = 3.
Следовательно, АВ²=АР²+ВР²=4+9=13, АВ=√13
ВС=2АВ=2√13
АL²=АР²+PL²=4+1=5. PL=√5
AC=3√5
ответ √13, 2√13, 3√5