Question

Втреугольнике авс, ав=1, вс=√2. биссектрисы ар и см пересекаются в точке о. угол аос/ угол авс = 5: 2. найти ас.

Answer 1

Обозначим
$\angle OAC=\angle OAB=\angle 1, \\ \angle OCA=\angle BCO=\angle2.$

Сумма углов треуголника АОС равна 180⁰:
$\angle1+\angle2+5 \alpha =180 ^{o} , \\ 2\cdot \angle1+2\cdot\angle2=360 ^{o} -10 \alpha ,$

Сумма углов треугольника АВС равна 180⁰:

$2\cdot\angle1+2\cdot\angle2+2 \alpha = 180 ^{o}, \\ 360 ^{o}-10 \alpha +2 \alpha =180 ^{o} , \\ 8 \alpha =180 ^{o}, \\ \alpha = \frac{45 ^{o} }{2}, \\ 2 \alpha =45 ^{o}$

По теореме косинусов: АС²=1²+(√2)²-2·1·√2·cos45⁰=1+2-2=1,
АС=1
ответ. АС=1