1. Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1. S =π*r₁² ⇒ r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π) < 1 = r. значит можно. 2. Не может. k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ . Если : AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁. BE : EC = 1 : 2 ⇒BE = k₂ , EC = 2k₂ ; BC=3k₂. CF : FA = 1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA = 2k₃ ; AC =3k₃. DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ; EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ . AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁ ⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.
Если : AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁. BE : EC = 2 : 1 ⇒BE = 2k₂ , EC = k₂ ; BC=3k₂. DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда точка касания F середина AC.
(х-8)(-16+6)-(y-9)(-12+6)+(z-6)(36-48)=0. Или -10x+6y-12z+46=0. 5x-3y+6z-23=0 - общее уравнение плоскости АВС с коэффициентами А=5, В=-3, С=6, D=-23.
Подставим данные трех наших точек плоскости АВD: |x-8 2-8 7-8| |x-8 -6 -1| |y-9 1-9 6-9| = 0. Или |y-9 -8 -3| = 0. |z-6 7-6 1-6| |z-6 1 -5| Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости ABD : |-8 -3| |-6 -1| |-6 -1| (х-8)*| 1 -5| - (y-9)*| 1 -5| +(z-6)*|-8 -3| =0.
(х-8)(40+3)-(y-9)(30+1)+(z-6)(18-8)=0. 43x-31y+10z-125=0 - общее уравнение плоскости АВD с коэффициентами А=43, В=-31, С=10, D=-125. Угол между плоскостями определяем по формуле: Cosα=|A1*A2+B1B2+C1C2|/(√(A1²+B1²+C1²)*√(A2²+B2²+C2²) или Cosα=|215+93+60|/(√(25+9+36)*√(43²+31²+10²)= 368/451=0,816. Угол равен ≈35,3°.
2. Уравнение прямой АВ по двум точкам: (x-1)/(4-1)=(y-6)/(5-6) или -x+1=3y-18 или y= (-1/3)*x+19/3 y= (-1/3)*x+19/3 (уравнение прямой с угловым коэффициентом). Угловой коэффициент k1=-1/3 (условие перпендикулярности прямых: k2=-(1/k1). Точка С(2;-2). Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ, проходящей через точку С : Y-Yc=3*(X-Xc). Подставляем наши значения: Y+2=3*(X-2) или 3Х-Y-8=0. - уравнение прямой Р. Координаты точки пересечения прямых АВ и Р найдем, решив систему уравнений этих прямых: АВ: х+3y=19 и P: 3x-y=8. Отсюда х=4,3 y=4,9 ответ: К(4,3;4,9).
