Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике равно 13/4, один из катетов равен а. найти другой катет и площадь треугольника.
Полная поверхность s=2*pi*R^2+2piRh h=(S/2 -pi*R^2)/pi*R V=pi*R^2*h=pi*R^2(s/2-pi*R^2)/(pi*R)=R *s/2-pi*R^3 Для нахождения максимума функции обьема найдем нули производную V '=S/2-2*pi*R^2=0 s/2=2*pi*R^2 откуда R=+-sqrt(s/4pi) расставив корни производной на числовой оси можно убедится что в точке sqrt(s/4*pi) она меняет знак с + на - ,тогда в этом случае обьем будет наибольший то есть R=sqrt(s/4*pi)=sqrt(25/pi)=5/sqrt(pi) h=(100/2-pi*25/pi)/pi*5/sqrt(pi)=25/(5*sqrt(pi))=5/sqrt(pi) ответ:R=h=5/sqrt(pi)
<KBC=90-<EBK=90-60=30° В прямоугольном треугольнике ВКС сумма острых углов КВС и С равна 90°, значит <C= 90-<KBC=90-30=60° Поскольку противоположные углы параллелограмма равны между собой, то <A=<C=60°. В подобных по двум углам прямоугольных треугольниках ВКС и АЕВ углы КВС и АВЕ равны. <ABE=30°.Катет АЕ прямоугольного треугольника АЕВ, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит АЕ = АВ : 2 = 16 : 2 = 8 см По теореме Пифагора в прямоугольном АЕВ находим ВЕ: BE=√AB²-AE²=√256-64=√192=√64*3=8√3 см
В прямоугольном треугольнике
R = c/2 r = (a + b - c)/2
R + r = (a + b)/2
Тогда (a + b)/c = (R + r)/R = 17/13
Пусть гипотенуза треугольника равна С, а один из катетов равен Х.
Тогда второй катет равен 17/13 * C - Х. Согласно теореме Пифагора
Х² + (17/13 * C - X)² = C²
X² + 289/169 * C² - 34/13 * C * X + X² = C²
X² - 17/13 * C * X + 60/169 = 0
X₁ = 5/13 * C X₂ = 12/13 * C
Следовательно, если больший катет равен а, то меньший катет равен а/2,4 = 5*a/12, а площадь треугольника S = a * (5*a/12) / 2 = 5 * a² / 24 .
Если же меньший катет равен а, то больший катет равен a * 12/5 = 2,4 * a а площадь треугольника S = a * 2,4 * a / 2 = 1,2 * a².