Проведём высоту из вершины А ΔАВС на сторону ВС ( точку пересечения со стороной ВС обозначим -Д) ,и высоту из вершины В ΔАВС на сторону АС ( точку пересечения со стороной АС обозначим -М). Из ΔАМВ ( угол М=90 град) имеем : ВМ/АВ=sinα sin²α=1-cos²α sinα=√1-(1|5)²=√24|25=2√6/5 ВМ=АВ·sinα Из ΔАДВ ( угол Д=90 град) : АД=АВ·sinβ BM/AD=(АВ·sinα)/AB·sinβ=sinα/sinβ=2√6/5·2=4√6/5 ответ: 4√6/5
Как известно, в равнобедренном треугольнике попарно равны боковые стороны и углы при основании. Доказательство будем строить именно на этом.
Предположим, что тр-к ABC - равнобедренный
1) Проведём высоту AK к основанию BC. По св-ву равнобедр. тр., она будет также медианой и биссектрисой. Значит, тр-ки ABK b ACK будут равны по стороне и двум прилежащим углам (половины основания, углы при основании и два прямых угла).
2) Проведём высоты BM и CH к сторонам АС и АВ соответственно. Три высоты пересекутсся в точке О, и все они будут делиться по соотношению 2:1, считая от вершин. В 1 действии мы доказали, что тр. ABK и ACK равны. Значит, если высоты пересекаются в одной точке , лежащей на общей стороне AK этих двух треугольников, то отрезки высот - BO-OM и CO-OH будут равны (т.к. не смещена линия симметрии): BO=CO OM=OH
Если равны все отрезки высот, то буду равны и целые высоты: BM = CH, чтд.
Оказалось непросто, даже почти забанили за самоуверенность. Но решение простое. Итак: Треугольник ABC. Высота BD. Обозначим длину искомого отрезка - х (EF). BD=4, AD=1, DC=8, Задача сводится к тому, чтобы прировнять площади двух получившихся фигур, S1 (маленький треугольник CEF) и S2 (сложная фигура, состоящая из треугольника ABD и прямоугольной трапеции BEFD. Отношение сторон треугольника ECF равно отношению в BCD. Следовательно если EF=x, то CF=2x. Находим площадь S1=(x*2x)/2=x²; То есть S2=S1, но вместе с тем S2+S1=Sобщ. Sобщ=(4*8)/2+(4*1)/2=18; Sобщ=2S1=2x²=18; x²=9; x=3. ответ: длина отрезка = 3.
Из ΔАМВ ( угол М=90 град) имеем :
ВМ/АВ=sinα
sin²α=1-cos²α sinα=√1-(1|5)²=√24|25=2√6/5
ВМ=АВ·sinα
Из ΔАДВ ( угол Д=90 град) : АД=АВ·sinβ
BM/AD=(АВ·sinα)/AB·sinβ=sinα/sinβ=2√6/5·2=4√6/5
ответ: 4√6/5